1. Каково расстояние от точки C до плоскости альфа? 2. Как можно показать на рисунке линейный угол двугранного угла

Задача 1: Каково расстояние от точки C до плоскости альфа?
Инструкция:

Для нахождения расстояния от точки C до плоскости альфа, мы можем использовать формулу для расстояния между точкой и плоскостью.

Пусть точка C имеет координаты (x_c, y_c, z_c), а уравнение плоскости альфа записывается в виде Ax + By + Cz + D = 0.

Расстояние d от точки C до плоскости альфа может быть найдено по следующей формуле:

d = |Ax_c + By_c + Cz_c + D| / √(A² + B² + C²)

Где |...| обозначает модуль числа, т.е. его абсолютное значение.

Итак, чтобы найти расстояние от точки C до плоскости альфа, нужно вычислить значение выражения |Ax_c + By_c + Cz_c + D|, а затем поделить его на корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов A, B и C.

Демонстрация:
Если уравнение плоскости альфа задано как 2x + 3y - z + 1 = 0, а координаты точки C равны (4, -2, 6), то можно рассчитать расстояние от точки C до плоскости альфа, используя формулу:
d = |2*4 + 3*(-2) - 6 + 1| / √(2² + 3² + (-1)²) = 11 / √14 единиц.

Совет: Для более легкого понимания расстояния от точки до плоскости, можно представить плоскость и точку на графике и визуализировать расстояние в виде перпендикулярной линии, проведенной от точки до плоскости.

Задача 2: Как можно показать на рисунке линейный угол двугранного угла DABM, где M находится в плоскости альфа?
Инструкция:

Для того чтобы показать на рисунке линейный угол двугранного угла DABM, где М находится в плоскости альфа, мы можем использовать следующие инструкции:

1. Нарисуйте плоскость альфа на рисунке, используя точку М для обозначения местоположения этой плоскости.
2. Нарисуйте прямые DA и DB, образующие двугранный угол.
3. На рисунке обозначьте угол DAB.
4. Нарисуйте прямую, которая на самом деле находится в плоскости альфа, проходящую через точку М и перпендикулярную плоскости.
5. Обозначьте точку пересечения прямых DAB и прямой в плоскости альфа и обозначьте ее буквой P.

Таким образом, показывая на рисунке линейный угол DABM, мы должны отобразить плоскость альфа и прямую, находящуюся в плоскости альфа, а также нанести точку пересечения на рисунок.

Совет: При решении подобных задач полезно использовать глазомер и использовать правильные инструменты (например, линейку и циркуль), чтобы сделать рисунок более точным.

Задача 3: Чему равен синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа?
Инструкция:

Чтобы найти синус угла между плоскостью ромба и плоскостью альфа, необходимо знать нормальные векторы обеих плоскостей. Пусть вектор n1 является нормальным вектором плоскости ромба, а вектор n2 - нормальным вектором плоскости альфа.

Тогда синус угла между плоскостями можно найти с помощью следующей формулы:

sin(θ) = |n1 × n2| / (|n1| × |n2|)

Где × обозначает векторное произведение векторов, |...| обозначает модуль вектора (его длину) и θ - искомый угол.

Поэтому для решения задачи необходимо вычислить векторы нормалей плоскостей ромба и альфа, вычислить их модули и произвести необходимые вычисления в формуле.

Демонстрация:
Пусть нормальные векторы плоскостей ромба и альфа равны n1 = (2, 1, -3) и n2 = (1, 5, -2) соответственно. Тогда синус угла между плоскостями будет равен:
sin(θ) = |(2, 1, -3) × (1, 5, -2)| / (|(2, 1, -3)| × |(1, 5, -2)|) = |(-7, -1, 7)| / (√14 × √30) = 7 / (2√210).

Совет: Чтобы упростить расчеты, можно использовать векторные операции и свойства векторных произведений для вычисления модулей и взаимно-перпендикулярных векторов. Не забывайте проверять знак в итоговом результате, чтобы определить правильный угол между плоскостями. Сохраняйте единицы измерения и округляйте ответы, если требуется.

Тема занятия: Геометрия в пространстве

1. Объяснение:

Чтобы найти расстояние от точки C до плоскости α, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости. Формула имеет вид:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

Где A, B, C, D - это коэффициенты уравнения плоскости α, а (x, y, z) - координаты точки C.

Демонстрация:

Уравнение плоскости α: 2x + 3y - z + 4 = 0
Координаты точки C: (1, -2, 3)

Для нахождения расстояния от точки C до плоскости α, мы подставляем значения в формулу:

d = |2 * 1 + 3 * (-2) - 1 * 3 + 4| / √(2^2 + 3^2 + (-1)^2)
= |2 - 6 - 3 + 4| / √(4 + 9 + 1)
= |-3| / √14
= 3 / √14

Ответ: Расстояние от точки C до плоскости α равно 3 / √14.

2. Объяснение:

Чтобы показать на рисунке линейный угол двугранного угла DABM, где M находится в плоскости α, мы должны нарисовать выпуклый многоугольник DABM, так чтобы DAB был его боковой гранью, а M лежала внутри указанного многоугольника. Это даст нам представление о взаимном расположении между плоскостью α и двугранным углом DABM.

3. Объяснение:

Чтобы определить синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α, нам нужно знать угол между этими двумя плоскостями. Пусть угол между нормалями плоскостей равен α (в радианах). Тогда синус этого угла можно вычислить по следующей формуле:

sin(α) = |n1 × n2| / (|n1| * |n2|),

где n1 и n2 - нормали к плоскостям ромба и α соответственно, × - векторное произведение, |n| - длина вектора n.

Демонстрация:

Плоскость ромба имеет уравнение: 2x + 3y - z + 4 = 0
Уравнение плоскости α: 4x - y + 2z - 5 = 0

Нормаль к плоскости ромба: n1 = (2, 3, -1)
Нормаль к плоскости α: n2 = (4, -1, 2)

Тогда, чтобы найти синус угла между этими плоскостями, мы используем формулу:

sin(α) = |n1 × n2| / (|n1| * |n2|)
= |(2, 3, -1) × (4, -1, 2)| / (√(2^2 + 3^2 + (-1)^2) * √(4^2 + (-1)^2 + 2^2))
= |(5, 10, 11)| / (√14 * √21)
= sqrt(5^2 + 10^2 + 11^2) / (√14 * √21)
= sqrt(246) / (√14 * √21)
= sqrt(246) / (√294)
= sqrt(6/49)
= sqrt(6) / 7

Ответ: Синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α равен sqrt(6) / 7.