Уравнение сферы
1) Given the points A (-3; 1.5; -2) and B (3; -2.5; 2). The line segment AB is a diameter of a sphere. a) Write down
1) Given the points A (-3; 1.5; -2) and B (3; -2.5; 2). The line segment AB is a diameter of a sphere. a) Write down the equation of the sphere. b) Do the points with coordinates (√7; -1.5; 3), (3; 2.5; 1) belong to the sphere?
2) The side of the triangle opposite to the angle of 60° is equal to 3√3. The vertices of the triangle belong to the sphere. Find the distance from the center of the sphere to the plane of the triangle if the radius is 5 cm. A diagram would be desirable.
2) The side of the triangle opposite to the angle of 60° is equal to 3√3. The vertices of the triangle belong to the sphere. Find the distance from the center of the sphere to the plane of the triangle if the radius is 5 cm. A diagram would be desirable.
04.12.2023 13:59
Написать свой ответ:
Объяснение:
Уравнение сферы может быть записано в виде (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r², где (a, b, c) - координаты центра сферы, r - радиус сферы.
a) Для нахождения уравнения сферы с диаметром AB нужно найти координаты центра сферы. Центром сферы будет середина отрезка AB, то есть C((х₁+х₂)/2; (у₁+у₂)/2; (z₁+z₂)/2), где (х₁, у₁, z₁) - координаты точки A, (х₂, у₂, z₂) - координаты точки B. Затем, используя центр сферы и одну из точек (A или B), мы можем вычислить радиус сферы по формуле r = √((x-a)² + (y-b)² + (z-c)²).
b) Чтобы узнать, принадлежат ли точки с данными координатами сфере, нужно подставить их координаты в уравнение сферы и проверить, выполняется ли оно для этих точек. Если сумма левой части уравнения равна квадрату радиуса, то точка принадлежит сфере.
Пример:
1) a) Уравнение сферы с центром в точке C(((-3+3)/2); ((1.5-2.5)/2); ((-2+2)/2)) = C(0; -0.5; 0) и радиусом r = √((0-(-3))² + (-0.5-1.5)² + (0-(-2))²) = 3.74 будет (x-0)² + (y+0.5)² + (z-0)² = 3.74².
b) Подставим координаты первой точки в уравнение сферы: (√7-0)² + (-1.5+0.5)² + (3-0)² = 3.74² → 7 + 1 + 9 = 13.96 ≠ 3.74². Первая точка не принадлежит сфере. Подставим координаты второй точки в уравнение сферы: (3-0)² + (2.5+0.5)² + (1-0)² = 3.74² → 9 + 9 + 1 = 19 = 3.74². Вторая точка принадлежит сфере.
2) А чтобы найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, нам понадобится использовать формулу для нахождения расстояния между плоскостью и точкой. Координаты центра сферы мы уже знаем (а, b, c). Затем мы подставляем эти значения в уравнение плоскости треугольника (Ax + By + Cz + D = 0) и находим D. Используя D и координаты центра сферы в формуле для расстояния от точки до плоскости, мы можем найти искомое расстояние.
Совет: Хорошая практика - всегда рисовать диаграмму, чтобы визуализировать проблему и лучше понять геометрическую ситуацию.
Проверочное упражнение: Найдите уравнение сферы с диаметром, проходящим через точки A(2; -1; 3) и B(-4; 5; 7). Определите принадлежат ли точки C(1; 6; 2) и D(-3; 0; 4) этой сфере. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости, если угол между нормалью плоскости и прямой, проходящей через центр сферы и одну из вершин треугольника, равен 30° и радиус сферы равен 6 см.