1) Докажите, что треугольник АОВ является прямоугольным. 2) Найдите площадь треугольника АОВ, если радиус окружности

Треугольник АОВ: доказательство прямоугольности и нахождение площади

Доказательство прямоугольности треугольника АОВ:
Для доказательства прямоугольности треугольника АОВ нам понадобится использовать два факта:

1. Точка касания окружности и боковой стороны трапеции делит ее на две равные части. Обозначим эту точку как Т.
2. Следующий факт: радиус окружности, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной.

Теперь мы можем приступить к доказательству. Используя эти два факта, допустим, что треугольник АОВ не является прямоугольным. Тогда угол О не может быть прямым.

Проведем отрезок ТО и соединим его с центром окружности точкой О. На этом этапе мы получаем прямоугольный треугольник ТОО₁, так как радиус проведенный до точки касания перпендикулярен касательной.

Теперь рассмотрим треугольник АТО₁. Угол АТО₁ является внешним углом треугольника АОВ. Это противоречит тому факту, что внешний угол в любом треугольнике больше любого из его внутренних углов.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение о непрямоугольности треугольника АОВ было неверным. Треугольник АОВ является прямоугольным.

Нахождение площади треугольника АОВ:
Для нахождения площади треугольника АОВ, нам нужно знать значения основания и высоты.

Основание треугольника АОВ - боковая сторона трапеции, которая делится точкой касания на две равные части. Обозначим это основание как b.

Высоту треугольника можно найти, используя теорему Пифагора. По условию, радиус окружности составляет 2, поэтому высота треугольника равна половине основания и равна h=b/2.

Тогда площадь треугольника АОВ можно рассчитать по формуле площади треугольника: S = (основание * высота) / 2.

Итак, площадь треугольника АОВ равна S = (b * (b/2)) / 2 = b²/4.

Демонстрация:
1) Дана трапеция со сторонами 4 и 8, а радиус окружности составляет 2. Точка касания делит боковую сторону трапеции на две равные части. Докажите, что треугольник АОВ является прямоугольным и найдите его площадь.

Совет:
Используйте геометрические факты и теоремы для доказательства прямоугольности треугольника. Перед решением упражнения всегда визуализируйте предмет и представляйте его в голове.

Задача на проверку:
Найдите площадь треугольника АОВ, если радиус окружности составляет 3, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении 3:4.