1. а) Каковы координаты векторов AB и CD? б) Какова длина векторов AB и CD? в) Чему равно скалярное произведение

Предмет вопроса: Векторы в плоскости

Описание:
1. а) Для нахождения координат векторов AB и CD можно использовать координаты их конечных и начальных точек. Координаты вектора AB будут (xB - xA, yB - yA), а координаты вектора CD - (xD - xC, yD - yC).
б) Длина вектора AB вычисляется по формуле √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2), а длина вектора CD - √((xD - xC)^2 + (yD - yC)^2).
в) Скалярное произведение векторов AB и CD равно (xB - xA) * (xD - xC) + (yB - yA) * (yD - yC).
г) Косинус угла между векторами AB и CD можно найти с использованием формулы: cosθ = (AB * CD) / (|AB| * |CD|), где AB * CD - скалярное произведение векторов AB и CD, |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD.
д) Чтобы узнать, является ли данный угол острым, прямым или тупым, необходимо рассмотреть значение косинуса угла. Если cosθ > 0, то угол острый; если cosθ = 0, то угол прямой; если cosθ < 0, то угол тупой.
е) Для того чтобы векторы CB и DQ были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Вычислим его по формуле: CB * DQ = (xB - xC) * (xD - xQ) + (yB - yC) * (yD - yQ). Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение относительно x.

2. В равнобедренном треугольнике ABC с прямым углом B известно, что AC = 2√2 и BD - медиана треугольника.
а) Скалярное произведение векторов BD и AC равно (xB - xD) * (2√2 - yA) + (yB - yD) * (xA - 2√2).
б) Скалярное произведение векторов BD и BC можно вычислить аналогично пункту а.
в) Скалярное произведение векторов BD и BD равно квадрату длины вектора BD.

Дополнительный материал:
1. а) Координаты векторов AB и CD: AB(3, 5), CD(-2, 1)
б) Длина векторов AB и CD: |AB| = √(3^2 + 5^2) = √34, |CD| = √((-2)^2 + 1^2) = √5
в) Скалярное произведение векторов AB и CD: AB * CD = 3*(-2) + 5*1 = -6 + 5 = -1
г) Косинус угла между векторами AB и CD: cosθ = (-1) / (√34 * √5)
д) Угол между векторами AB и CD является тупым, так как cosθ < 0.
е) Для перпендикулярности векторов CB и DQ необходимо решить уравнение (xB - xC) * (6 - xQ) + (yB - yC) * (2 - yQ) = 0 относительно xQ.

2. Дано: AC = 2√2, BD - медиана треугольника
а) Скалярное произведение векторов BD и AC: (xB - xD) * (2√2 - yA) + (yB - yD) * (xA - 2√2)
б) Скалярное произведение векторов BD и BC можно вычислить аналогично пункту а.
в) Скалярное произведение векторов BD и BD равно квадрату длины вектора BD.

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить материал по векторам, рекомендуется решать разнообразные задачи, используя формулы и методы, описанные выше. Попробуйте разбить каждую задачу на отдельные шаги и провести графическое представление, чтобы визуализировать процесс и результат.

Векторы и скалярное произведение:
a) Координаты векторов AB и CD. Для определения координат вектора, достаточно вычислить разность координат конечной и начальной точек вектора. В данной задаче мы имеем следующие координаты: A(3, 4), B(-2, -1), C(-1, 2), D(-5, 0).
Координаты вектора AB получаем как разность координат конечной и начальной точек: AB = B - A = (-2, -1) - (3, 4) = (-5, -5).
Координаты вектора CD получаем аналогично: CD = D - C = (-5, 0) - (-1, 2) = (-4, -2).

б) Длина векторов AB и CD. Для определения длины вектора, используем формулу длины вектора: ||v|| =sqrt(x^2 + y^2), где x и y - координаты вектора. В данной задаче:
Длина вектора AB = sqrt((-5)^2 + (-5)^2) = sqrt(50) = 5√2.
Длина вектора CD = sqrt((-4)^2 + (-2)^2) = sqrt(20) = 2√5.

в) Скалярное произведение векторов AB и CD. Скалярное произведение векторов AB и CD определяется как сумма произведений соответствующих координат этих векторов: AB·CD = ABx * CDx + ABy * CDy.
В данной задаче:
AB·CD = (-5) * (-4) + (-5) * (-2) = 20 + 10 = 30.

г) Косинус угла между векторами AB и CD. Косинус угла между векторами AB и CD вычисляется с помощью формулы: cos α = (AB·CD) / (||AB|| * ||CD||).
В данной задаче:
cos α = 30 / (5√2 * 2√5) = 30 / (10√10) = 3 / √10.

д) Тип угла между векторами AB и CD. Для определения типа угла между векторами AB и CD, нам необходимо знать знак косинуса этого угла. Если косинус положителен - угол острый, если косинус равен нулю - угол прямой, если косинус отрицателен - угол тупой.
В нашем случае, косинус угла α = 3 / √10 > 0, следовательно, угол является острым.

е) Перпендикулярные векторы CB и DQ. Для определения, при каком значении x векторы CB и DQ будут перпендикулярны, необходимо учесть, что перпендикулярные векторы образуют прямой угол, а значит их скалярное произведение равно нулю: CB·DQ = 0.
Подставим координаты этих векторов и найдем значение x: (x, -2)·(-5, x) = -5x + 2x = 0
-3x = 0
x = 0.
При значении x = 0, векторы CB и DQ будут перпендикулярны.

Скалярное произведение векторов в равнобедренном треугольнике
Для определения скалярных произведений векторов BD AC, BD BC и BD BD в равнобедренном треугольнике ABC с прямым углом B, нам необходимо знать координаты точек A, B, C, D и применить формулу скалярного произведения: AB·CD = ABx * CDx + ABy * CDy.
В данной задаче у нас нет координат точек A, B, C и D, поэтому мы не можем вычислить эти скалярные произведения.