Каков будет значение четвертого члена убывающей геометрической прогрессии, если третий и пятый члены этой прогрессии

Содержание: Геометрическая прогрессия

Объяснение:

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый последующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

Для решения задачи по геометрической прогрессии, где даны значения третьего и пятого членов, можно использовать формулу для нахождения общего члена геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]

где \(a_n\) - значение \(n\)-го члена прогрессии, \(a_1\) - значение первого члена прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер нужного члена прогрессии.

В нашем случае, значение третьего члена прогрессии \(a_3\) равно 256, а значение пятого члена прогрессии \(a_5\) равно 1/4. Мы можем воспользоваться этими значениями для составления системы уравнений:

\[256 = a_1 \cdot q^2\]
\[\frac{1}{4} = a_1 \cdot q^4\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения \(a_1\) и \(q\). После этого, мы можем использовать формулу \(a_4 = a_1 \cdot q^3\) для нахождения значения четвертого члена убывающей геометрической прогрессии.

Например:

Задача: Найдите значение четвертого члена убывающей геометрической прогрессии, если третий и пятый члены этой прогрессии равны 256 и 1/4 соответственно.

Решение:

Для решения этой задачи, мы должны найти значения \(a_1\) и \(q\) из системы уравнений:

\[256 = a_1 \cdot q^2\]
\[\frac{1}{4} = a_1 \cdot q^4\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем \(a_1 = 16\) и \(q = \frac{1}{2}\). Теперь мы можем найти значение четвертого члена прогрессии, используя формулу \(a_4 = a_1 \cdot q^3\):

\[a_4 = 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 16 \cdot \frac{1}{8} = 2\]

Таким образом, значение четвертого члена убывающей геометрической прогрессии равно 2.

Совет:

При решении задач на геометрическую прогрессию особое внимание следует уделить правильной формулировке и составлению уравнений, а также осторожно проводить вычисления с дробными значениями. Запишите все известные значения и используйте эти данные для составления уравнений.

Задание для закрепления:

Найдите значение шестого члена геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а знаменатель равен 3.

Тема занятия: Убывающая геометрическая прогрессия
Разъяснение: Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии. В убывающей геометрической прогрессии знаменатель прогрессии должен быть меньше 1.

Чтобы найти значение четвертого члена убывающей геометрической прогрессии, нам необходимо использовать информацию о третьем и пятом членах прогрессии.

Дано, что третий член равен 256 и пятый член равен 1/4. Мы можем использовать эту информацию для нахождения знаменателя прогрессии.

Для начала, найдем отношение значений пятого и третьего членов прогрессии:

Отношение = Пятый член / Третий член = (1/4) / 256

Сокращая дробь, получим:

Отношение = 1/4 * 1/256 = 1/1024

Теперь нам известно отношение значений соседних членов прогрессии. Чтобы найти значение четвертого члена, мы можем использовать это отношение:

Четвертый член = Третий член * Отношение

Четвертый член = 256 * (1/1024) = 1/4

Таким образом, значение четвертого члена убывающей геометрической прогрессии равно 1/4.

Совет: Когда решаете задачи на геометрические прогрессии, помните, что знаменатель прогрессии должен быть между 0 и 1, чтобы получить убывающую прогрессию. Если знаменатель больше 1, это будет возрастающая геометрическая прогрессия.

Задание: Найдите значение шестого члена убывающей геометрической прогрессии, если третий член равен 64 и четвертый член равен 4.