Сформулируйте теорему Штейнера для пустотелого цилиндра с очень маленькими стенками, который имеет массу m и радиус

Теорема Штейнера для пустотелого цилиндра объясняет связь между моментом инерции цилиндра относительно данной оси и моментом инерции цилиндра относительно оси, параллельной данной оси и смещенной на расстояние d от нее.

Пусть у нас есть пустотелый цилиндр с очень маленькими стенками, массой m и радиусом R. Чтобы найти его момент инерции относительно оси OO, нужно сложить момент инерции самого цилиндра и момент инерции тонкого кольца с массой dm, которое лежит на расстоянии r от оси OO и имеет ширину dr.

Таким образом, момент инерции цилиндра относительно оси OO можно выразить следующим образом:

\[ I_{OO} = I_{cm} + \int (r^2 \cdot dm) \]

Здесь I_{cm} - момент инерции самого цилиндра (без учета массы стенок), r - расстояние от оси OO до рассматриваемого элемента массы, dm - масса элемента длиной dr.

Аналогично, чтобы найти момент инерции цилиндра относительно оси O1O1, нужно добавить к моменту инерции центра масс цилиндра момент инерции тонкого кольца, смещенного относительно оси O1O1.

\[ I_{O1O1} = I_{cm} + \int ((r + d)^2 \cdot dm) \]

Например:
Задан пустотелый цилиндр с очень маленькими стенками, массой 2 кг и радиусом 0,5 м. Найдите его момент инерции относительно осей OO и O1O1.
Мы знаем, что для пустотелого цилиндра момент инерции можно выразить как сумму момента инерции самого цилиндра и момента инерции тонкого кольца с массой dm.
1. Найдем момент инерции самого цилиндра:
\[ I_{cm} = \frac{1}{2} m R^2 \]
\[ I_{cm} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0,5)^2 = 0,5 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \]
2. Найдем момент инерции относительно оси OO:
\[ I_{OO} = I_{cm} + \int (r^2 \cdot dm) \]
\[ I_{OO} = 0,5 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 + \int (r^2 \cdot dm) \]
3. Найдем момент инерции относительно оси O1O1:
\[ I_{O1O1} = I_{cm} + \int ((r + d)^2 \cdot dm) \]
\[ I_{O1O1} = 0,5 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 + \int ((r + d)^2 \cdot dm) \]


Совет: Чтобы лучше понять теорему Штейнера, рекомендуется изучить основные понятия момента инерции и его вычисления для простых геометрических фигур, таких как шары, кубы и тонкие стержни.

Практика:
У вас есть пустотелый цилиндр с очень маленькими стенками, массой 3 кг и радиусом 0,8 м. Найдите его момент инерции относительно осей OO и O1O1.