Предположим, что есть два ненулевых вектора 𝐯𝐞𝐜𝐚 и 𝐯𝐞𝐜𝐛. Если известно, что |𝐯𝐞𝐜𝐚−17𝐯𝐞𝐜𝐛|=|𝐯𝐞𝐜𝐚+17𝐯𝐞𝐜𝐛|, то докажите

Суть вопроса: Перпендикулярность векторов

Пояснение:
Чтобы доказать, что векторы 𝐯𝐞𝐜𝐚 и 𝐯𝐞𝐜𝐛 перпендикулярны друг другу, необходимо проверить, что их скалярное произведение равно нулю.

Дано: |𝐯𝐞𝐜𝐚−17𝐯𝐞𝐜𝐛| = |𝐯𝐞𝐜𝐚+17𝐯𝐞𝐜𝐛|

Раскроем модули в полученном равенстве:

√(𝐯𝐞𝐜𝐚−17𝐯𝐞𝐜𝐛)² = √(𝐯𝐞𝐜𝐚+17𝐯𝐞𝐜𝐛)²

𝐯𝐞𝐜𝐚−17𝐯𝐞𝐜𝐛 = 𝐯𝐞𝐜𝐚+17𝐯𝐞𝐜𝐛 (квадраты уравниваем по модулю)

2𝐯𝐞𝐜𝐚 = 34𝐯𝐞𝐜𝐛

Разделим уравнение на 2:

𝐯𝐞𝐜𝐚 = 17𝐯𝐞𝐜𝐛

Теперь найдем скалярное произведение векторов:

𝐯𝐞𝐜𝐚 · 𝐯𝐞𝐜𝐛 = |𝐯𝐞𝐜𝐚| × |𝐯𝐞𝐜𝐛| × cos(θ)

где θ - угол между векторами.

Подставим найденное значение 𝐯𝐞𝐜𝐚 = 17𝐯𝐞𝐜𝐛:

𝐯𝐞𝐜𝐚 · 𝐯𝐞𝐜𝐛 = |17𝐯𝐞𝐜𝐛| × |𝐯𝐞𝐜𝐛| × cos(θ)

17𝐯𝐞𝐜𝐛 · 𝐯𝐞𝐜𝐛 = 17|𝐯𝐞𝐜𝐛|² × cos(θ)

17|𝐯𝐞𝐜𝐛|² = 17|𝐯𝐞𝐜𝐛|² × cos(θ)

17 = cos(θ)

Таким образом, если cos(θ) равен 17, то угол между векторами равен 90 градусов, что подтверждает их перпендикулярность.

Дополнительный материал: Найти скалярное произведение векторов 𝐯𝐞𝐜𝐚 = (5, -2) и 𝐯𝐞𝐜𝐛 = (1, 3).

Совет: Чтобы лучше понять понятие перпендикулярности векторов, рекомендуется изучить понятия скалярного произведения векторов и геометрическую интерпретацию скалярного произведения.

Задача для проверки: Проверьте, перпендикулярны ли векторы 𝐯𝐞𝐜𝐚 = (2, -3) и 𝐯𝐞𝐜𝐛 = (-3, -2).