Определите значение коэффициента затухания для тела массой 0,05 кг, подвешенного на невесомой пружине с коэффициентом

Тема урока: Затухание гармонических колебаний

Инструкция:
Затухание является явлением, при котором амплитуда колебаний со временем уменьшается из-за наличия силы сопротивления. Коэффициент затухания (β) определяет, насколько быстро амплитуда уменьшается.

Для системы, описанной в задаче, можно выразить коэффициент затухания (β) и передаточную функцию (H) через заданные параметры.

Сначала найдем значение циклической частоты колебаний (ω):

ω = 2πf = 2π * 25 = 50π рад/с

Затем найдем коэффициент затухания (β) с использованием формулы:

β = ω / 2Q,

где Q - безразмерное число, называемое добротностью системы. В данной задаче значение Q можно найти через заданное смещение центра инерции от вынуждающей силы и фазовый сдвиг.

Q = 1 / (2 * π * 0,75) = 0,423

Теперь, когда у нас есть значение коэффициента затухания (β) и циклической частоты колебаний (ω), мы можем определить передаточную функцию (H):

H = 1 / [(ω₀² - ω²) + i * 2βω],

где ω₀ - собственная циклическая частота системы, связанная с коэффициентом жесткости пружины и массой тела.

ω₀ = √(k / m) = √(20 / 0,05) = 20√5 рад/с

Пример использования:
Для тела массой 0,05 кг и пружины с коэффициентом жесткости 20 Н/м, смещение центра инерции отстает по фазе от вынуждающей силы на 0,75π. Определите значение коэффициента затухания (β).

Решение:
1. Найдем циклическую частоту колебаний (ω):
ω = 2π * 25 = 50π рад/с

2. Рассчитаем значение коэффициента затухания (β):
β = ω / (2Q)

Найдем значение Q через заданный фазовый сдвиг:
Q = 1 / (2π * 0,75) = 0,423

Заметим, что β = ω / (2Q) = 50π / (2 * 0,423) ≈ 372,37 рад/с

Ответ: Значение коэффициента затухания для данной системы составляет примерно 372,37 рад/с.

Совет:
Для лучшего понимания затухания гармонических колебаний, рекомендуется ознакомиться с основами гармонических колебаний и добротностью систем.

Упражнение:
Тело массой 0,1 кг подвешено на невесомой пружине с коэффициентом жесткости 10 Н/м. Определите значение коэффициента затухания (β), если частота колебаний равна 4 рад/с, а смещение центра инерции тела отстает по фазе от вынуждающей силы на 0,5π. (Ответ: примерно 1,257 рад/с)