Найти соотношение среднего количества фононов в кристалле с энергией, в два раза меньшей, чем максимальная энергия

Содержание вопроса: Соотношение среднего количества фононов в кристалле при различных энергиях

Инструкция: Фононы - элементарные возбуждения в кристаллической решетке, связанные с колебаниями атомов. Их количество зависит от температуры и энергии. Чтобы найти соотношение среднего количества фононов в кристалле при двух разных энергиях, нужно учесть следующие факты:

1. Среднее количество фононов связано с энергией формулой Планка-Эйнштейна:
N = 1 / (exp(E / (kT)) - 1),

где N - среднее количество фононов, E - энергия фонона, k - постоянная Больцмана, T - температура.

2. Приближение Дебая: при высоких температурах количество фононов пропорционально температуре.

Итак, если максимальная энергия фонона равна E_max, то энергия фонона при двукратно меньшей энергии равна E_max / 2. По формуле Планка-Эйнштейна вычисляем среднее количество фононов для каждой энергии и находим соотношение:

N_1 / N_2 = [1 / (exp(E_max / (2 * kT)) - 1)] / [1 / (exp(E_max / (kT)) - 1)]

Пример:
Пусть максимальная энергия фонона равна 10 эВ, температура 300 К. Найдем соотношение среднего количества фононов при энергии 5 эВ и максимальной энергии:

N_1 / N_2 = [1 / (exp(5 / (2 * k * 300)) - 1)] / [1 / (exp(10 / (k * 300)) - 1)]

Совет: Для лучшего понимания концепции фононов и энергии фононов в кристалле, рекомендуется ознакомиться с основами физики твердого тела и термодинамики.

Дополнительное задание: При максимальной энергии фонона равной 20 эВ и температуре 500 К, найдите соотношение среднего количества фононов при энергии 10 эВ и максимальной энергии.