На каком расстоянии от линзы находится точечный источник света, если он расположен на двойном фокусном расстоянии

Задача: Определение положения источника света относительно линзы; Расчет диаметра светлого пятна на экране

Разъяснение:
Для определения положения точечного источника света относительно линзы, используем формулу тонкой линзы:

1. Формула тонкой линзы:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}$

Где:
- $f$ - фокусное расстояние линзы;
- $d_o$ - расстояние от источника света до линзы;
- $d_i$ - расстояние от линзы до изображения.

По условию, $d_i = 2f$ (линза собирающая), а $f = \frac{1}{D}$, где $D$ - оптическая сила в дптр. Значит, $d_i = \frac{2}{D}$.

Используя формулу тонкой линзы, подставим известные значения и найдем $d_o$:

$\frac{1}{10} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{\frac{2}{10}}$

Решая это уравнение, получим $d_o = \frac{10}{3}$ см.

2. Расчет диаметра светлого пятна:
Для расчета диаметра светлого пятна на экране используем формулу увеличения линзы:

Формула увеличения линзы:
$V = \frac{d_i}{d_o} = - \frac{f}{\text{положение источника}}$

Где:
- $V$ - увеличение линзы;
- $f$ - фокусное расстояние линзы.

Используя формулу, найдем увеличение линзы:

$V = \frac{\frac{2}{10}}{\frac{10}{3}} = \frac{3}{5}$

Учитывая, что увеличение линзы является отрицательной величиной, мы можем сказать, что изображение образуется на том же самом удалении ($-3/5$) от линзы, где находится источник света.

Используем подобие треугольников, построим рисунок, отразив ход лучей от источника света через линзу на экран:

        |          |

      ---|    л     |

        |          |

       точка      экран

        источника

        света

Теперь мы можем рассчитать диаметр светлого пятна на экране, используя подобие треугольников:

$\frac{d_{экрана}}{d_{источника}} = \frac{\text{ширина экрана}}{\text{ширина источника}}$

В данной задаче известны $d_{источника} = \frac{10}{3}$ и $d_{экрана} = 30$ см.

Заметим, что ширина источника и его изображения на экране соответственно одинаковы (так как поступающий свет является параллельным). Таким образом, ширина источника равна $2R$, где $R$ - радиус оправы линзы.

Следовательно:

$\frac{30}{\frac{10}{3}} = \frac{2R}{2R}$

$\frac{30 \cdot 3}{10} = 1$

$R = \frac{90}{10} = 9$. Соответственно, диаметр светлого пятна на экране равен $2R = 18$ см.

Совет:
Для более легкого понимания задачи, рекомендуется визуализировать ход лучей с помощью рисунка. Также помните, что линза собирающая создает действительное, уменьшенное изображение.

Проверочное упражнение:
Оцените изменится ли диаметр светлого пятна на экране, если расстояние от линзы до экрана изменится на 10 см.