Какой процент молекул азота, разогретого до 600 К, имеет скорость в пределах от 600 м/c до 630 м/c?

Тема урока: Распределение скоростей молекул газа.

Разъяснение: Распределение скоростей молекул газа описывается законом Максвелла-Больцмана, который говорит о том, что скорости молекул имеют нормальное распределение вокруг средней скорости. Для этой задачи нам необходимо найти процент молекул азота, имеющих скорость в пределах от 600 м/c до 630 м/c при температуре 600 K.

Для начала, нам нужно вычислить среднюю скорость молекул азота при данной температуре. Используя формулу расчета средней кинетической энергии молекулы:

\( \bar{E} = \frac{3}{2} kT \),

где \( \bar{E} \) - средняя кинетическая энергия молекулы, \( k \) - постоянная Больцмана (1,38 × 10^(-23) J/K), \( T \) - температура в Кельвинах.

Подставляя значения в формулу, получаем:

\( \bar{E} = \frac{3}{2} \cdot 1,38 × 10^(-23) \cdot 600 = 1,242 × 10^(-21) J \).

Далее, используя среднюю кинетическую энергию, можем найти среднюю скорость молекул по формуле:

\( \bar{v} = \sqrt{\frac{2\bar{E}}{m}} \),

где \( \bar{v} \) - средняя скорость молекул, \( m \) - масса молекулы азота (в данном случае примем ее равной 28,0134 атомной массы, что составляет 4,651 × 10^(-26) кг).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\( \bar{v} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1,242 × 10^(-21)}{4,651 × 10^(-26)}} \approx 514 м/c \).

Теперь, чтобы найти процент молекул азота с заданной скоростью, мы можем использовать нормальное распределение и таблицу стандартного нормального распределения. Сначала нам нужно нормализовать интервал скоростей, используя следующую формулу:

\( z = \frac{x - \bar{v}}{s} \),

где \( z \) - стандартизованное значение, \( x \) - заданная скорость (630 м/c в данном случае), \( \bar{v} \) - средняя скорость молекул, \( s \) - среднеквадратическое отклонение скоростей молекул.

Среднеквадратическое отклонение скоростей молекул можно найти по формуле:

\( s = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\( s = \sqrt{\frac{3 \cdot 1,38 × 10^(-23) \cdot 600}{4,651 × 10^(-26)}} \approx 220 м/c \).

Теперь мы можем найти стандартизованное значение:

\( z = \frac{630 - 514}{220} \approx 0,527 \).

Используя таблицу стандартного нормального распределения, мы можем найти площадь под кривой в пределах от \( z = 0 \) до \( z = 0,527 \). В таблице мы видим, что соответствующее значение вероятности составляет примерно 0,2991. Это означает, что примерно 29,91% молекул азота имеют скорость в пределах от 600 м/c до 630 м/c при температуре 600 K.

Совет: Для лучшего понимания этого материала, рекомендуется ознакомиться с распределением скоростей молекул газа и законом Максвелла-Больцмана. Также полезно изучить использование таблицы стандартного нормального распределения для определения вероятностей.

Проверочное упражнение: Найдите процент молекул азота, имеющих скорость в пределах от 400 м/c до 500 м/c при температуре 700 K.