Какой максимальный угол отклонения нити математического маятника, если его скорость в положении равновесия составляет

Тема урока: Математический маятник

Объяснение: Математический маятник - это тело, закрепленное на невесомой нерастяжимой нити и колеблющееся вокруг точки равновесия под воздействием силы тяжести. Мы можем использовать закон сохранения механической энергии, чтобы найти максимальный угол отклонения нити в таком маятнике.

Когда маятник находится в положении равновесия, у него есть только потенциальная энергия (максимальная) и никакой кинетической энергии. Используя формулу для потенциальной энергии гравитационного поля, можем записать:

$$E_p=m\cdot g\cdot h$$

Где $E_p$ - потенциальная энергия, $m$ - масса маятника, $g$ - ускорение свободного падения, $h$ - высота маятника.

При максимальном отклонении нити, кинетическая энергия будет максимальной и потенциальная энергия будет равна нулю. Используя закон сохранения механической энергии, можем записать:

$$E_{\text{п }}+E_{\text{кин }}=0$$

Тогда, подставляя значения, получаем:

$$m\cdot g\cdot h+\frac{1}{2}m\cdot v^2=0$$

Где $v$ - скорость маятника. Подставляя значения скорости в положении равновесия ($v = 1$ м/с), получаем:

$$m\cdot g\cdot h+\frac{1}{2}m\cdot 1^2=0$$

Сокращая массу $m$, получаем:

$$g\cdot h+\frac{1}{2}=0$$

Теперь можно найти выражение для максимального угла отклонения нити ($\Theta$):

$$h=L\cdot (1-\cos (\mathrm{\Theta }))$$

Где $L$ - длина нити.

Теперь подставляем значение $h$ в уравнение:

$$g\cdot L(1-\cos (\mathrm{\Theta }))+\frac{1}{2}=0$$

Решая это уравнение относительно $\Theta$, получаем:

$$\mathrm{\Theta }={\cos }^{-1}\left(\frac{-1}{2g\cdot L}\right)$$

Таким образом, максимальный угол отклонения нити математического маятника будет равен $\Theta = \cos^{-1}\left(\frac{-1}{2g \cdot L}\right)$.


Пример:
Значения гравитационного ускорения ($g$) и длины нити ($L$) маятника известны: $g = 9.8$ м/с², $L = 1$ м. Чтобы найти максимальный угол отклонения нити, мы можем подставить эти значения в формулу: $\Theta = \cos^{-1}\left(\frac{-1}{2 \cdot 9.8 \cdot 1}\right)$.


Совет:
Чтобы лучше понять математический маятник и его свойства, рекомендуется изучать законы сохранения энергии и изучать уравнения движения для данного типа системы. Также полезно проводить эксперименты и наблюдать, как меняется угол отклонения нити в зависимости от различных факторов, таких как масса маятника и длина нити.


Проверочное упражнение:
В математическом маятнике длиной $L = 2$ м искомый угол отклонения нити равен $\Theta = 0.35$ радиан. Найдите скорость маятника в положении равновесия.