Какой коэффициент сопротивления среды r, если за 2,5 с колебательная система теряет 80% своей энергии при затухающих

Содержание: Коэффициент сопротивления среды и время затухания

Пояснение: Коэффициент сопротивления среды(r) в физике определяет степень вязкого сопротивления, которое испытывает тело движущееся в среде.
Для задачи о затухающих колебаниях пружинного маятника, формула для времени затухания T связана с коэффициентом сопротивления среды r следующим образом:
T = (2 * m) / (r * ω)
Где m - масса тела на пружине, r - коэффициент сопротивления среды, ω - собственная угловая скорость колебаний пружинного маятника.

Для определения коэффициента сопротивления среды r известно, что за время 2,5 секунды колебательная система теряет 80% энергии. Затухание колебаний пропорционально разности амплитуд двух последовательных колебаний и описывается формулой:
A(t) = A0 * e^(-ξωt)
Где A(t) - амплитуда смещения в момент времени t, A0 - начальная амплитуда, ξ - безразмерный коэффициент затухания, ω - собственная угловая частота колебаний, e - основание натурального логарифма.

Для определения времени, через которое амплитуда смещения тела уменьшается в e (2,718), можно использовать формулу:
t = (1 / ξω) * ln(e)
где t - время, ξ - безразмерный коэффициент затухания, ω - собственная угловая частота колебаний.
Например:
Заданы следующие данные:
m = 48 г = 0,048 кг
t = 2,5 с
e = 2,718

Мы уже знаем, что при затухающих колебаниях система теряет 80% своей энергии, поэтому ξ = 0,80
Сначала, чтобы найти собственную угловую частоту ω, мы можем использовать формулу для периода колебаний T:
T = t / n
где n - количество полных колебаний за время t.
Давайте предположим, что за время t колебания системы происходят 10 раз. Тогда, n = 10.
T = 2,5 с / 10 = 0,25 с

Угловая частота ω связана с периодом T следующим образом:
ω = 2π / T
где π (пи) - математическая константа, примерно равная 3,14.
Подставляем значения и находим угловую частоту ω:
ω = 2π / 0,25 с ≈ 7,85 рад/с

Теперь, чтобы найти время t, через которое амплитуда смещения тела уменьшается в e (2,718), мы можем использовать формулу:
t = (1 / ξω) * ln(e)
подставим значения и найдем результат:
t = (1 / 0,8 * 7,85 рад/с) * ln(2,718) ≈ 0,1605 с
Совет: Для понимания формул и решения задач по вязкому сопротивлению и затухающим колебаниям полезно разобраться в основных понятиях физики механики, особенно в колебательных системах и математическом описании их движения. Экспериментальное исследование подобных систем, а также решение различных задач помогают углубить понимание данной темы.
Задача для проверки: Если колебательная система потеряет 90% своей энергии за время 3 секунды, найдите коэффициент сопротивления среды (r), если масса тела на пружине составляет 0,1 кг.

Тема занятия: Коэффициент сопротивления среды

Инструкция: Коэффициент сопротивления среды, обозначаемый символом r, определяет величину силы сопротивления, которую оказывает среда на движущийся объект. В данной задаче нам требуется найти коэффициент сопротивления среды r.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулой для затухающих колебаний:

E(t) = E₀ * e^(-rt)

где E(t) - энергия в момент времени t, E₀ - начальная энергия системы, r - коэффициент сопротивления среды, t - время.

Из условия задачи известно, что система теряет 80% своей энергии за 2,5 секунды. То есть, по сравнению с начальной энергией E₀, энергия системы через 2,5 секунды составляет 20% от E₀ (или 0,2E₀):

0,2E₀ = E₀ * e^(-2,5r)

Путем упрощения уравнения и применения натурального логарифма удалось получить значение коэффициента сопротивления среды:

r = (1/2,5) * ln(5)

Демонстрация: Вычислим значение коэффициента сопротивления среды р.

Решение:
r = (1/2,5) * ln(5)
расчет:
r ≈ 0,4

Совет: Для лучшего понимания материала о коэффициенте сопротивления среды, рекомендуется ознакомиться с теорией, объясняющей взаимосвязь силы сопротивления, энергии и времени. Упражнения с пошаговым объяснением также могут помочь лучше понять применение этой формулы.

Практика: Во время затухающих колебаний система теряет 90% своей энергии за 4 секунды. Найдите значение коэффициента сопротивления среды r.