Каковы уравнения движения материальной точки, чьи координаты зависят от времени: x=t(1-t)[м] и y=t(1+2t)[м]? В момент

Уравнения движения материальной точки с переменными координатами и временем

Инструкция:
Для данной задачи материальная точка движется в двухмерном пространстве с координатами x и y, которые зависят от времени t. Ускорение точки можно найти, используя формулы для производных первого и второго порядка.

Для начала найдем скорость точки, взяв производные координат x и y по времени:
v = (dx/dt, dy/dt)

Исходные уравнения движения:
x = t(1-t)
y = t(1+2t)

Находим производные координат по времени:
dx/dt = (1-2t)
dy/dt = (1+4t)

Теперь найдем ускорение точки, продифференцировав скорость:
a = (dv/dt)

Вычисляем производные скорости по времени:
dv/dt = d(1-2t)/dt, d(1+4t)/dt
= -2, 4

Таким образом, ускорение точки равно a = (-2, 4) [м/c²].

Чтобы найти угол между векторами скорости и ускорения, можно использовать скалярное произведение этих векторов и формулу для нахождения угла:
cosθ = (v·a) / (|v||a|)

Подставляем значения векторов:
v·a = (-2)(1-2t) + (4)(1+4t)
= -2 + 4t + 4 + 16t
= 20t + 2

|v| = sqrt((dx/dt)² + (dy/dt)²)
= sqrt((1-2t)² + (1+4t)²)
= sqrt(1 - 4t + 4t² + 1 + 8t + 16t²)
= sqrt(20t² + 8t + 2)

|a| = sqrt((-2)² + 4²)
= sqrt(4 + 16)
= sqrt(20)

Подставляем значения в формулу для нахождения угла:
cosθ = (20t + 2) / (sqrt(20t² + 8t + 2)*sqrt(20))
= (10t + 1) / sqrt(20t² + 8t + 2)

Таким образом, угол θ между векторами скорости и ускорения выражается как arcsin[(10t + 1) / sqrt(20t² + 8t + 2)].

Демонстрация:
Найдите ускорение точки и угол между векторами скорости и ускорения в момент времени t=1c.

Совет:
Чтобы лучше понять уравнения движения материальной точки, рекомендуется изучить базовые понятия дифференцирования и производных функций. Найдите решение задачи шаг за шагом, а затем проверьте свои результаты.

Упражнение:
Найдите ускорение точки и угол между векторами скорости и ускорения в момент времени t=2c.