Каковы скорость, полное, нормальное и тангенциальное ускорение точки, движущейся по кривой, где ее координаты

Содержание вопроса: Движение по кривой

Пояснение:
Для начала, мы можем найти скорость движения точки, используя производные координат x и y по времени t.

Если дано, что x = a*cos(φ), где a - это значение, заданное равным 4, и φ - угол, зависящий от времени, то производная по t будет равна производной от a*cos(φ) по φ, умноженной на производную φ по t.

Так как производная от cos(φ) по φ равна -sin(φ), а производная от φ по t равна ω+2βt, где ω и β - заданные значения равные 0,7 и -0,1 соответственно, то скорость по оси x будет:

vx = dx/dt = d(a*cos(φ))/dt = - a*sin(φ)*(ω+2βt)

Аналогично, для y = b*sin(φ), где b - заданное значение равное 2, скорость по оси y будет:

vy = dy/dt = d(b*sin(φ))/dt = b*cos(φ)*(ω+2βt)

Теперь мы можем найти общую скорость v точки, используя теорему Пифагора:

v = sqrt(vx^2 + vy^2)

Далее, полное ускорение точки будет равно производной скорости по времени t:

a = dv/dt

Разложим a на две составляющие: нормальное ускорение и тангенциальное ускорение. Нормальное ускорение - это изменение направления скорости, а тангенциальное ускорение - изменение модуля скорости.

Таким образом, нормальное ускорение an будет равно:

an = v^2 / R

где R - радиус кривизны, который может быть выражен как:

R = (vx*dy/dφ - vy*dx/dφ) / (dx/dφ^2 + dy/dφ^2)

где dx/dφ = -a*sin(φ), dy/dφ = b*cos(φ), d^2x/dφ^2 = -a*cos(φ), d^2y/dφ^2 = -b*sin(φ).

Тангенциальное ускорение at будет равно:

at = dv/dt = d(sqrt(vx^2 + vy^2))/dt

Теперь мы имеем все необходимые формулы для вычисления скорости, полного, нормального и тангенциального ускорений точки, движущейся по заданной кривой.

Доп. материал:
Для заданных значений a = 4, b = 2, t = 2.5, φ0 = 1.5, ω = 0.7, β = -0.1, мы можем использовать данные формулы для вычисления всех требуемых величин.

Совет:
При решении подобных задач рекомендуется использовать символическое вычисление или математический пакет, чтобы упростить процесс.

Задача на проверку:
Посчитайте скорость, полное, нормальное и тангенциальное ускорение точки для заданных значений и определите перемещение точки за время от 0 до t.