Каков путь, который точка пройдет за первые 4 секунды движения, если ее движение описывается уравнением r = 3t^2i

Тема: Движение в пространстве

Объяснение:
У нас есть уравнение, описывающее движение точки: r = 3t^2i + 4t^2j + 8tk, где r - радиус-вектор, i, j, k - единичные векторы, t - время.
Для того чтобы найти путь, который точка пройдет за первые 4 секунды движения, нам нужно интегрировать скорость по времени.

Сначала найдем скорость точки, взяв производную уравнения r по t:
v = dr/dt = 6ti + 8tj + 8k

Затем найдем путь, интегрируя скорость по времени:
s = ∫v dt = ∫(6ti + 8tj + 8k) dt

Интегрируя по отдельным компонентам, получим:
s = ∫6ti dt + ∫8tj dt + ∫8k dt
s = 3t^2i + 4t^2j + 8tk + C

Теперь подставим значение времени t = 4 секунды, чтобы найти путь, пройденный точкой за первые 4 секунды:
s = 3(4^2)i + 4(4^2)j + 8(4)k + C
s = 48i + 64j + 32k + C

Таким образом, путь, пройденный точкой за первые 4 секунды движения, равен 48i + 64j + 32k + C.

Демонстрация:
У нас есть уравнение движения точки r = 3t^2i + 4t^2j + 8tk. Найдите путь, который точка пройдет за первые 4 секунды движения.

Совет:
Для лучшего понимания данного вопроса рекомендуется ознакомиться с основами векторной алгебры и интегрирования. Используйте таблицу производных и интегралов для этого типа задач.

Задание для закрепления:
Уравнение движения дано как r = 2ti - 3t^2j. Найдите путь, который точка пройдет за первые 5 секунд движения. (Ответ: 10i - 75j)