Какое уравнение определяет траекторию движения частицы массой m в центральном поле с потенциальной энергией U(r), если

Содержание: Уравнение движения в центральном поле

Описание: В центральном поле частица движется вокруг некоторого центрального объекта, например, Солнца или ядра атома. Для определения траектории движения воспользуемся законом сохранения энергии и законом сохранения момента импульса.

Закон сохранения энергии в данном случае означает, что полная энергия системы остается постоянной, то есть E = U(r) + Eк, где U(r) - потенциальная энергия частицы, Eк - её кинетическая энергия.

Закон сохранения момента импульса гласит, что момент импульса частицы L = mvr, где m - масса частицы, v - её скорость, r - радиус-вектор, направленный от центра движения частицы к ней самой.

Поскольку мы знаем, что полная энергия E равна нулю и момент импульса L является постоянным, можем записать следующее уравнение:
U(r) + Eк = 0.

Учитывая, что Eк = (m*v^2)/2 и L = mvr, подставим их в уравнение:
U(r) + (m*v^2)/2 = 0.

Теперь можно выразить скорость v относительно радиус-вектора r:
v = L/(m*r).

Подставляем эту скорость в уравнение и получаем искомое уравнение движения:
U(r) + L^2/(2*m*r^2) = 0.

Демонстрация: Дано центральное поле с потенциальной энергией U(r) = -α/r, где α - постоянная. Если полная энергия E = 0 и момент импульса L является постоянным, то уравнение движения будет выглядеть как: -α/r + L^2/(2*m*r^2) = 0.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, обратите внимание на то, что уравнение движения в центральном поле зависит от формы потенциальной энергии. Кроме того, рассмотрите геометрический смысл радиус-вектора r и момента импульса L.

Задание: Предположим, что в центральном поле массой m с потенциальной энергией U(r) = -β/r, где β - постоянная. Если полная энергия E = 0 и момент импульса L является постоянной, как будет выглядеть уравнение движения?