Какое полное ускорение у точки в конце 2-й секунды её движения по кривой радиусом 10 метров, описываемой уравнением

Тема урока: Полное ускорение точки на кривой

Разъяснение: Для расчета полного ускорения точки на кривой нам необходимо учесть две составляющие: радиальное и тангенциальное ускорения. Радиальное ускорение направлено к центру кривой и определяется формулой a_r = v^2 / r, где v - скорость точки, r - радиус кривизны кривой. Тангенциальное ускорение связано со скоростью изменения тангенциальной составляющей вектора скорости и можно найти по формуле a_t = dv / dt. Полное ускорение - это векторная сумма радиального и тангенциального ускорений, ищется по формуле a = sqrt(a_r^2 + a_t^2).

Для данной задачи, сначала найдем скорость точки, взяв первую производную уравнения S(t) = 5t^2 + 1.5t + 2.5 по времени (t), что даст нам v(t) = dS/dt = 10t + 1.5. Затем найдем радиус кривизны r, который в данной задаче равен 10 метров. Подставим значения скорости и радиуса в формулу радиального ускорения a_r = v^2 / r, получим a_r = (10t + 1.5)^2 / 10. Чтобы найти тангенциальное ускорение a_t, продифференцируем скорость по времени: a_t = dv/dt = 10.

Теперь найдем полное ускорение, сложив в квадрате радиальное и тангенциальное ускорения и взяв квадратный корень из суммы: a = sqrt((10t + 1.5)^2 / 10^2 + 10^2). Таким образом, полное ускорение точки на кривой радиусом 10 метров описываемой уравнением S=5t^2+1.5t+2.5 находится по формуле a = sqrt((10t + 1.5)^2 / 100 + 100).

Дополнительный материал: Для t = 2 секунды:
a = sqrt((10*2 + 1.5)^2 / 100 + 100)
a = sqrt((20 + 1.5)^2 / 100 + 100)
a = sqrt(441.25 / 100 + 100)
a = sqrt(4.4125 + 100)
a ≈ sqrt(104.4125)
a ≈ 10.22 м/с^2

Совет: Для лучшего понимания и решения подобных задач рекомендуется ознакомиться с основами дифференциального и интегрального исчисления и научиться дифференцировать и интегрировать функции.

Упражнение: Найдите полное ускорение точки в момент времени t = 3 секунды.