Какая скорость будет у материальной точки через временной интервал t (в секундах) после начала движения из состояния

Содержание: Движение с переменным ускорением

Инструкция:

Для решения данной задачи нам необходимо учесть уравнение движения материальной точки с переменным ускорением. Уравнение дано вида:

а = а₀ + вt + сt²,

где а₀ - начальное ускорение, в - линейное ускорение, с - ускорение по вторичным факторам, t - время.

Для определения скорости материальной точки через временной интервал t после начала движения, нужно проинтегрировать ускорение по времени:

v = ∫(а₀ + вt + сt²)dt.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

v = ∫а₀dt + ∫вtdt + ∫сt²dt.

∫а₀dt = а₀t,

∫вtdt = вt²/2,

∫сt²dt = сt³/3.

Подставим значения a₀ = 17, в = -20, с = 7:

v = 17t - 20t²/2 + 7t³/3.

Теперь, чтобы найти расстояние, пройденное материальной точкой за время t, проинтегрируем скорость по времени:

s = ∫vdt.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности:

s = ∫(17t - 20t²/2 + 7t³/3)dt.

∫17tdt = 17t²/2,

∫-20t²/2dt = -20t³/6,

∫7t³/3dt = 7t⁴/12.

Подставим значения времени и выполним расчет:

s = 17t²/2 - 20t³/6 + 7t⁴/12.

Дополнительный материал:

Допустим, t = 5 секунд. Подставим данное значение в наши уравнения:

Для скорости:

v = 17 * 5 - 20 * (5)²/2 + 7 * (5)³/3.

Для расстояния:

s = 17 * (5)²/2 - 20 * (5)³/6 + 7 * (5)⁴/12.

Совет:

Для лучшего понимания и решения данной задачи рекомендуется ознакомиться с основными принципами дифференциального и интегрального исчисления. Также полезно овладеть навыками решения задач на движение с переменным ускорением.

Дополнительное упражнение:

Пусть а = 10 (м/с²), в = -15 (м/с³), с = 5 (м/с⁴), а₀ = 8. Найдите скорость и расстояние, пройденные материальной точкой за время t = 4 секунды после начала движения.