Как определить необходимую скорость для запуска космического корабля на круговую орбиту после вынужденной посадки

Тема урока: Определение необходимой скорости для запуска космического корабля на круговую орбиту

Описание: Чтобы определить необходимую скорость для запуска космического корабля на круговую орбиту, нужно использовать закон всемирного тяготения и закон сохранения энергии.

Сначала определим высоту орбиты над планетой, на которую корабль вынужденно сел. Для этого мы можем воспользоваться формулой энергии:

E_1 = E_2,

где E_1 - полная механическая энергия корабля на поверхности планеты, а E_2 - полная механическая энергия корабля на орбите.

E_1 = mgh, где m - масса корабля, g - ускорение свободного падения на поверхности планеты, h - высота над поверхностью планеты.

E_2 = -GmM/r, где G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, r - радиус орбиты.

Получаем уравнение:

mgh = -GmM/r.

Сокращая массы корабля, получаем:

gh = -GM/r.

Теперь нам нужно решить это уравнение относительно скорости v. Для этого воспользуемся формулой для центростремительного ускорения:

gh = v^2/r.

Теперь, чтобы узнать необходимую скорость, мы можем решить это уравнение относительно v:

v^2 = GM/r.

Таким образом, чтобы определить необходимую скорость для запуска космического корабля на круговую орбиту, нужно вычислить квадратный корень из выражения GM/r, где G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, r - радиус орбиты.

Например:
Заданы следующие параметры:
G = 6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3\, \text{кг}^{-1}\, \text{с}^{-2} (гравитационная постоянная),
M = 5.97219 \times 10^{24}\, \text{кг} (масса Земли),
r = 6.371 \times 10^6\, \text{м} (радиус орбиты).

Чтобы найти необходимую скорость, нужно вычислить квадратный корень из выражения GM/r:

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}.

v = \sqrt{\frac{{6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3\, \text{кг}^{-1}\, \text{с}^{-2} \times 5.97219 \times 10^{24}\, \text{кг}}}{{6.371 \times 10^6\, \text{м}}}}.

v \approx 7.913 \times 10^3\, \text{м/c}.

Таким образом, чтобы запустить космический корабль на круговую орбиту вокруг Земли, необходимая скорость составляет приблизительно 7913 м/с.

Совет: При решении физических задач, связанных с космическими орбитами, помните, что отсутствие сил сопротивления дает возможность упростить задачу и использовать законы сохранения энергии и центростремительного ускорения. Также имейте в виду, что значения гравитационной постоянной, массы планеты и радиуса орбиты будут различаться для разных планет и спутников.

Ещё задача:
Предположим, что вынужденная посадка произошла на планету с массой M = 2.5 \times 10^{23} \, \text{кг} и радиусом орбиты r = 4 \times 10^6 \, \text{м}. Какая будет необходимая скорость для запуска космического корабля на круговую орбиту вокруг этой планеты?