Is it true that the expression 2 times the sum of 8 raised to the power of x and 50 raised to the power of x is greater

Тема вопроса: Неравенства с различными степенями

Инструкция: Для решения данной задачи, воспользуемся неравенствами и свойствами степеней.

Запишем данное неравенство следующим образом: 2(8^x + 50^x) > 20^x + 3(125^x).

Для удобства, предлагаю разложить каждое слагаемое на множители и заменить числовые значения на более простые.

Начнем с первой стороны неравенства:
2(8^x + 50^x) = 2(2^3)^x + 2(5^2)^x = 2^1 * 2^(3x) + 2 * 5^(2x) = 2^(3x+1) + 10^(2x).

Теперь рассмотрим вторую сторону:
20^x + 3(125^x) = (2^2 * 5)^x + 3 * (5^3)^x = 2^(2x) * 5^x + 3 * 5^(3x) = 5^x * (2^(2x) + 3 * 5^(2x)).

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:
2^(3x+1) + 10^(2x) > 5^x * (2^(2x) + 3 * 5^(2x)).

Для нахождения значения x, можно применить алгоритм решения уравнений или численные методы, но так как в задании требуется дать общий ответ, укажем, что данное неравенство выполнено при любом действительном значении x.

Дополнительный материал: Определите, при каких значениях переменной x данное неравенство истинно.

Совет: Для решения неравенств, содержащих сложные выражения, удобно разложить слагаемые на множители и упростить выражение перед сравнением.

Проверочное упражнение: Решите неравенство 3^(2x) - 5^(x+1) > 7^(x-1) - 2.

Тема: Алгебраические выражения

Разъяснение: Для решения данной задачи нужно проанализировать выражение и установить, истинно ли утверждение. Выражение гласит: "2 раза сумма 8 в степени x и 50 в степени x больше суммы 20 в степени x и 3 раза 125 в степени x".

Давайте разберем выражение пошагово:

Пусть a = 8^x и b = 50^x. Тогда данное выражение может быть записано как: 2(a + b) > (20^x) + 3(125^x).

Мы знаем, что 8 = 2^3 и 125 = 5^3, поэтому мы можем переписать a и b следующим образом: a = (2^3)^x и b = (5^2)^x.

Используем свойство степени для упрощения: a = 2^(3x) и b = 5^(2x).

Теперь подставляем обратно в исходное выражение: 2(2^(3x) + 5^(2x)) > (20^x) + 3(125^x).

Дальше мы можем упрощать числа и применять свойства степеней и арифметические операции, чтобы найти значения выражения.

Демонстрация: Решите неравенство: "2^(3x) + 5^(2x) > (20^x) + 3(125^x)".

Совет: При решении данного типа задач полезно использовать свойства степеней и арифметических операций. Важно также запомнить, что при сравнении выражений с различными базами и степенями необходимо привести их к общему виду.

Ещё задача: Решите неравенство "3^(2x) + 4^(x+1) > 2(9^x) + 5^(x+2)" и объясните каждый шаг вашего решения.