Докажите, что время, за которое тело падает на землю с максимальной высоты, вдвое меньше времени его подъема

Тема урока: Время падения и время подъема тела

Описание: Чтобы доказать данное утверждение, расмотрим движение тела при падении и подъеме. При падении тела, его движение будет соответствовать закону свободного падения. Закон свободного падения гласит, что время падения тела с высоты h можно выразить по следующей формуле:

t = sqrt(2h/g)

Где t - время падения, h - высота, g - ускорение свободного падения (около 9.8 м/с^2 на поверхности Земли).

С другой стороны, время подъема тела на эту же высоту можно рассчитать как:

t" = sqrt(2h/(2g))

Так как мы уже учли силу притяжения Земли во время падения и подъема, ускорение становится в два раза меньше, то есть g/2.

Сравнивая t и t", мы видим, что время падения вдвое меньше времени подъема:

t = sqrt(2h/g)

t" = sqrt(2h/(2g))

А так как г/2 = g/2, время падения t = t"/2.

Пример: Представим, что вы бросили мяч вверх с высоты 10 метров. Время, за которое мяч дойдет до поверхности земли при падении, будет:

t = sqrt(2 * 10 / 9.8) ≈ 1.43 секунды.

А время, за которое мяч поднимется снова на высоту 10 метров после броска, будет:

t" = sqrt(2 * 10 / (2 * 9.8)) ≈ 1 секунда.

Видим, что время падения t вдвое меньше, чем время подъема t".

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить это свойство времени падения и подъема, можно представить, что весь процесс происходит на прямой вертикальной оси. Закон свободного падения всегда будет действовать на тело, независимо от его начальной скорости или направления движения.

Проверочное упражнение: Пусть у нас есть шарик, который бросили вверх с начальной скоростью 12 м/с. Определите время, за которое шарик вернется на поверхность земли, если его начальная высота составляет 25 метров.

Тема: Доказательство времени падения и подъема тела

Инструкция: Чтобы понять, что время падения с максимальной высоты вдвое меньше времени подъема на эту высоту, мы можем использовать принцип сохранения энергии.

Когда тело падает с максимальной высоты, его полная механическая энергия (потенциальная энергия (P) и кинетическая энергия (K)) полностью превращается только в кинетическую энергию при падении. Мы можем записать это как

P + K = K"

Где P - потенциальная энергия, K - кинетическая энергия, K" - кинетическая энергия на максимальной высоте.

Когда тело поднимается обратно на эту высоту после выкидывания вверх, его кинетическая энергия полностью превращается только в потенциальную энергию. Запишем это как

K" = P"

Оба выражения можно уравнять:

P + K = P"

Так как P" - это потенциальная энергия на максимальной высоте, она равна потенциальной энергии в начальной точке, то есть P". Кинетическая энергия отсутствует, так как тело находится в покое на максимальной высоте.

Таким образом, P = P".

Используя выражение для потенциальной энергии (P = mgh, где m - масса тела, g - ускорение свободного падения, h - высота), мы получаем:

mgh = mgh

Поскольку масса тела и ускорение свободного падения не меняются, высоты находятся на одном уровне, а значит, время падения и время подъема на эту высоту также равны.

Демонстрация:
Задача: Докажите, что при вертикальном движении времена падения с максимальной высоты и подъема на эту высоту равны.

Совет: Чтобы лучше понять данный принцип, можно провести эксперимент, выбросив объект вверх и изучая его движение. Обратите внимание на изменение потенциальной и кинетической энергии тела на разных высотах.

Проверочное упражнение: Какое будет время подъема тела на высоту 10 метров, если время его падения с этой высоты равно 2 секундам? (Ускорение свободного падения примем равным 9,8 м/с^2)