1. Каковы координаты четырех последовательных вершин четырехугольника - A (1;-2;3), B (3;2;1), C (6;4;4) и D (4;0;6)?

Задача 1: Координаты вершин четырехугольника

Используем данные координаты вершин A(1;-2;3), B(3;2;1), C(6;4;4) и D(4;0;6).

Чтобы убедиться, что данный четырехугольник является параллелограммом, нам необходимо проверить несколько условий:
1. Соединим точки A и C с помощью вектора AC, и точки B и D с помощью вектора BD.
2. Если вектор AC равен вектору BD, то мы можем утверждать, что данный четырехугольник является параллелограммом.

Вычислим векторы AC и BD:
Вектор AC = C - A = (6;4;4) - (1;-2;3) = (6-1;4-(-2);4-3) = (5;6;1)
Вектор BD = D - B = (4;0;6) - (3;2;1) = (4-3;0-2;6-1) = (1;-2;5)

Сравним полученные векторы:
Вектор AC = (5;6;1)
Вектор BD = (1;-2;5)

Вектор AC не равен вектору BD, поэтому данный четырехугольник не является параллелограммом.

Теперь найдем длины сторон четырехугольника:
Сторона AB:
AB = √((xb-xa)^2 + (yb-ya)^2 + (zb-za)^2) = √((3-1)^2 + (2-(-2))^2 + (1-3)^2) = √(4 + 16 + 4) = √24 = 2√6
Сторона BC:
BC = √((xc-xb)^2 + (yc-yb)^2 + (zc-zb)^2) = √((6-3)^2 + (4-2)^2 + (4-1)^2) = √(9 + 4 + 9) = √22
Сторона CD:
CD = √((xd-xc)^2 + (yd-yc)^2 + (zd-zc)^2) = √((4-6)^2 + (0-4)^2 + (6-4)^2) = √(4 + 16 + 4) = √24 = 2√6
Сторона DA:
DA = √((xa-xd)^2 + (ya-yd)^2 + (za-zd)^2) = √((1-4)^2 + ((-2)-0)^2 + (3-6)^2) = √(9 + 4 + 9) = √22

Теперь найдем cos угла A:
cos A = ((ab * ad) / (|ab| * |ad|))
ab = B - A = (3;2;1) - (1;-2;3) = (3-1;2-(-2);1-3) = (2;4;-2)
ad = D - A = (4;0;6) - (1;-2;3) = (4-1;0-(-2);6-3) = (3;2;3)

|ab| = √((2)^2 + (4)^2 + (-2)^2) = √(4 + 16 + 4) = √24 = 2√6
|ad| = √((3)^2 + (2)^2 + (3)^2) = √(9 + 4 + 9) = √22

cos A = ((2*3 + 4*2 + (-2)*3) / (2√6 * √22))
cos A = (6 + 8 - 6) / (2√6 * √22) = 8 / (2√6 * √22) = 4 / (√6 * √22) = 4 / √(6 * 22) = 4 / √132
cos A = 4√132 / 132 = √132 / 33

Таким образом, длины сторон четырехугольника AB, BC, CD и DA равны соответственно 2√6, √22, 2√6 и √22. Cos угла A равен √132 / 33.

Задача 2: Перпендикулярные векторы

Для проверки того, могут ли векторы a{-2;1;4} и в{3;4;-2} быть перпендикулярными, нам необходимо вычислить их скалярное произведение и проверить, равно ли оно 0.

a * в = (-2 * 3) + (1 * 4) + (4 * -2) = -6 + 4 - 8 = -10

Так как полученное скалярное произведение не равно 0, можно сделать вывод, что векторы a{-2;1;4} и в{3;4;-2} не являются перпендикулярными.