Линейная алгебра
1. Докажите, что тройка векторов е1(1;0;0), е2(1;1;0), е3(1;1;1) является базисом. 2. Разложите вектор а(–2;0;–1
1. Докажите, что тройка векторов е1(1;0;0), е2(1;1;0), е3(1;1;1) является базисом.
2. Разложите вектор а(–2;0;–1) по базису, указанному в предыдущем пункте (пункт 1).
3. Найдите расстояние между точкой А(1;1) и прямой, заданной уравнениями x = –1+2t и y = –1– 6t.
4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;1;–1) и перпендикулярной плоскостям 2x–y+5z+3 = 0 и x+3y–z–7 = 0.
5. Найдите уравнения проекции прямой, заданной уравнением (x–4)/3=(y+1)/–2=z/4, на плоскость x–3y–z+8=0.
2. Разложите вектор а(–2;0;–1) по базису, указанному в предыдущем пункте (пункт 1).
3. Найдите расстояние между точкой А(1;1) и прямой, заданной уравнениями x = –1+2t и y = –1– 6t.
4. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;1;–1) и перпендикулярной плоскостям 2x–y+5z+3 = 0 и x+3y–z–7 = 0.
5. Найдите уравнения проекции прямой, заданной уравнением (x–4)/3=(y+1)/–2=z/4, на плоскость x–3y–z+8=0.
17.12.2023 23:30
Написать свой ответ:
Описание:
1. Чтобы доказать, что тройка векторов е1(1;0;0), е2(1;1;0), е3(1;1;1) является базисом, нам нужно убедиться в двух вещах: (а) эти векторы линейно независимы, и (б) они образуют пространство, которое содержит все возможные комбинации этих векторов. Для проверки линейной независимости, мы можем составить матрицу из координат этих векторов и проверить, что ее определитель не равен нулю. Определитель ненулевой, значит, векторы линейно независимы. Чтобы проверить, что эти векторы образуют пространство, мы можем показать, что каждый вектор в пространстве может быть представлен как линейная комбинация этих трех векторов. Это можно сделать, решив систему линейных уравнений.
Например:
1. Докажите, что тройка векторов е1(1;0;0), е2(1;1;0), е3(1;1;1) является базисом.
Совет:
Для доказательства, что тройка векторов является базисом, важно проверить оба условия: линейную независимость и образование полного пространства. Обратите внимание на то, что определитель матрицы, составленной из координат векторов, не равен нулю, чтобы убедиться в их линейной независимости. Также знайте, что если система векторов образует базис, то любой вектор в пространстве может быть представлен как линейная комбинация этих векторов.
Ещё задача:
2. Разложите вектор а(–2;0;–1) по базису, указанному в предыдущем пункте (пункт 1).