Какое значение имеет производная функции z=x^2-2xy+3y-1 в точке (1;2) в направлении l (1; -1)? Варианты ответа: a

Тема вопроса: Производная функции в заданной точке в направлении вектора

Описание: Чтобы найти значение производной функции в заданной точке в направлении указанного вектора, мы можем использовать понятие градиента функции. Градиент функции показывает направление наибольшего возрастания функции в каждой точке. Вектор градиента в точке представляет собой нормированный вектор, сонаправленный с вектором направления, и его длина равна производной функции в этой точке в данном направлении.

Данная задача имеет функцию z = x^2 - 2xy + 3y - 1 и точку (1;2). Для нахождения значения производной в заданной точке в направлении линии, определяем линейный вектор l (1; -1) и находим градиент функции:

∇z = (∂z/∂x, ∂z/∂y)

∂z/∂x = 2x - 2y
∂z/∂y = -2x + 3

Вычисляем значения производных в точке (1;2):

∂z/∂x = 2*1 - 2*2 = -2
∂z/∂y = -2*1 + 3 = 1

Затем находим нормированный градиент функции в этой точке, который будет сонаправлен с вектором направления l (1; -1):

∇z = (-2, 1)
|∇z| = √((-2)^2 + 1^2) = √(4 + 1) = √5

Теперь находим значение производной функции в данной точке в направлении вектора l:

Значение = |∇z| * |l| * cos(θ), где θ - угол между ∇z и вектором l

|l| = √(1^2 + (-1)^2) = √2

cos(θ) = (∇z * l) / (|∇z| * |l|)
= (-2*1 + 1*(-1)) / (√5 * √2)
= -1 / (√10)

Значение = √5 * √2 * (-1 / (√10))
Значение ≈ -0.632

Ответ: б. 0

Совет: Чтобы лучше понять производные и их значения, рекомендуется изучить математическую теорию о производных функций и сделать больше практики с вычислением производных и решением задач на их использование в заданных точках и направлениях.

Задача для проверки: Найдите значение производной функции в заданной точке (2;3) в направлении вектора l (3;2) для функции z = 2x - 3y + x^2 + 2xy.