Задача на отношение диаметра и хорды круга
В круге, проведена хорда, которая составляет 3/4 диаметра. Точка М, находящаяся на этой хорде, делит ее в соотношении
В круге, проведена хорда, которая составляет 3/4 диаметра. Точка М, находящаяся на этой хорде, делит ее в соотношении 1:2, и расстояние от М до центра круга равно.
09.12.2023 11:27
Написать свой ответ:
Инструкция:
Пусть *AB* - диаметр круга, а *М* - точка на хорде *CD*.
Также известно, что *М* делит хорду *CD* в соотношении 1:2.
По условию задачи, расстояние от точки *М* до центра круга равно *h*.
Рассмотрим треугольник *АМС*, где *АС* - радиус круга.
Поскольку *М* делит хорду *CD* в соотношении 1:2, можно сказать, что *DM* = (*DC* / 3) и *МС* = (2 * DC* / 3).
По свойству перпендикуляра в треугольнике:
*АМ^2 = ДМ * МС*
Тогда:
*(АС - h)^2 = (DC/3) * (2DC/3)*
Упростим:
*(АС - h)^2 = 2*(DC^2)/9*
*АС^2 - 2hАС + h^2 = 2*(DC^2)/9*
Также известно, что хорда *DC* составляет *3/4 диаметра*, что можно записать как *DC = (3/4) * АС*.
Подставим это значение в уравнение:
*АС^2 - 2hАС + h^2 = 2*((3/4)*АС)^2/9*
*9АС^2 - 18hАС + 9h^2 = 2*(9АС^2)/16*
*144hАС - 144h^2 = 0*
*АС = h*
Таким образом, мы получаем, что *АС = h*, что означает, что расстояние от точки *М* до центра круга равно *АС*.
Демонстрация:
Допустим, диаметр круга равен 12 см. В этом случае, хорда, проведенная внутри круга, будет составлять (3/4) * 12 = 9 см. Точка *М* делит эту хорду в соотношении 1:2. Также известно, что расстояние от точки *М* до центра круга равно 6 см. Мы можем использовать предоставленные данные и применить уравнение, описанное выше, чтобы проверить, действительно ли расстояние от *М* до центра равно *АС*. Далее, мы подставляем известные значения (*DC* = 9 см, *h* = 6 см) в уравнение, чтобы проверить его справедливость.
Совет:
Чтобы лучше понять эту задачу, важно понимать свойства перпендикуляра в треугольнике и свойства диаметра и хорды круга. Также полезно рисовать рисунок, чтобы визуализировать задачу и легче увидеть, как имеющиеся данные влияют на решение.
Дополнительное задание:
Диаметр круга равен 16 см. Хорда, проведенная внутри круга, составляет (2/3) от диаметра. Найдите расстояние от точки *М* до центра круга, если эта точка делит хорду в соотношении 2:1.