Требуется доказать, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, где диагонали пересекаются в точке

Предмет вопроса: Доказательство прямоугольности параллелограмма ABCD

Разъяснение: Для доказательства того, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, мы можем использовать свойства диагоналей и биссектрисы угла.

Дано, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. По свойствам параллелограмма, эти диагонали делят друг друга пополам. Значит, отрезок OA равен отрезку OC, и отрезок OB равен отрезку OD.

Далее, доказываем, что биссектриса угла COD перпендикулярна стороне AB. Угол COD может быть разделен на два равных угла, так как биссектриса делит его пополам. Значит, угол COD равен углу DOC. Отрезок OA равен отрезку OC, поэтому треугольник OAC является равнобедренным. Следовательно, угол OAC равен углу OCA.

Также мы знаем, что параллелограммы имеют противоположные углы, равные между собой. Значит, угол OAB также равен углу OCA. Таким образом, углы OCA и OAB равны друг другу и равны углу COD.

Из полученных равенств следует, что угол OAB также равен углу DOC. Отрезок OB равен отрезку OD, значит треугольник OBD является равнобедренным. Следовательно, угол ODB равен углу OBD.

Из равенства углов ODB и OBD следует, что треугольник ODB является равносторонним. Это означает, что угол OBD равен 90 градусам, так как в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам.

Таким образом, мы доказали, что угол ODB равен 90 градусам, что и является определением прямоугольника. Значит, параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Доп. материал: Докажите, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, если диагонали пересекаются в точке O, а биссектриса угла COD перпендикулярна стороне AB.

Совет: Всегда старайтесь воспользоваться известными свойствами фигур и изложить свои рассуждения последовательно, следуя приведенным утверждениям в доказательстве.

Ещё задача: Докажите, что параллелограмм EFGH является прямоугольником, если диагонали пересекаются в точке M, а биссектриса угла GMH перпендикулярна стороне EF.