The probability of a one appearing in the first position of the codeword given that a one appeared in the second

Тема: Вероятность в кодировании

Пояснение:
Для решения задачи о вероятности появления определенных цифр в позициях кодового слова, имея информацию о появлении цифр в других позициях, мы можем использовать условную вероятность.

1. Вероятность появления единицы на первой позиции кодового слова при условии, что единица уже появилась на второй позиции:

Это представляет собой условную вероятность P(1|1) и вычисляется с помощью формулы:

P(1|1) = P(1 и 1) / P(1)

Расширяя эту формулу, используя правило перемножения вероятностей:

P(1|1) = P(1 и 1) / (P(1 и 1) + P(0 и 1))

2. Вероятность появления нуля на второй позиции кодового слова при условии, что ноль уже появился на первой позиции:

Аналогично, это вычисляется с помощью условной вероятности P(0|0):

P(0|0) = P(0 и 0) / P(0)

3. Вероятность появления сообщения x2 при условии, что на первой позиции кодового слова уже появился ноль:

Также используется условная вероятность P(x2|0):

P(x2|0) = P(x2 и 0) / P(0)

Пример использования:
Пусть дано: P1 = 0.2+0.005*n, P2 = 0.3-0.005*n, P3 = 0.1+0.01*n

1. Вычислим P(1|1):

P(1|1) = (P(1 и 1)) / (P(1 и 1) + P(0 и 1))
= (P1*P2) / (P1*P2 + (1-P1)*P2)
= (0.2+0.005*n) * (0.3-0.005*n) / ( (0.2+0.005*n)*(0.3-0.005*n) + (1-(0.2+0.005*n))*(0.3-0.005*n) )

2. Вычислим P(0|0) и P(x2|0) с аналогичными формулами, используя значения P2 и P3:

P(0|0) = (P(0 и 0)) / (P(0 и 0) + P(1 и 0))
= ( (1-P2)*(1-P3) ) / ( (1-P2)*(1-P3) + P2*(1-P3) )

P(x2|0) = (P(x2 и 0)) / P(0)
= ( P3*(1-P2) ) / ( 1-P2 )

Совет:
Для лучшего понимания условной вероятности и формулы, рекомендуется ознакомиться с основами теории вероятностей и изучить примеры расчетов в условных вероятностях.

Упражнение:
Рассмотрим другой пример. Пусть P1 = 0.3, P2 = 0.6, P3 = 0.2. Вычислите P(1|1), P(0|0) и P(x2|0) используя формулы, приведенные выше.