Теория вероятностей (Решение для дискретных случайных величин) 1) Состоит из трех независимых монетных бросков

Теория вероятностей (Решение для дискретных случайных величин)

1) Построение ряда распределения, гистограммы и функции распределения для случайного числа выпадений герба:

Ряд распределения показывает все возможные значения (выпадения герба) и соответствующие вероятности. Для данной задачи, число выпадений герба может быть 0, 1, 2 или 3. Используем формулу Бернулли для расчета вероятностей:

P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

где P(X=k) - вероятность, C(n,k) - количество комбинаций, p - вероятность успеха (выпадение герба), n - количество испытаний (монетных бросков), k - количество успехов (выпадение герба).

- Когда X=0 (нет выпадения герба):
P(X=0) = C(3,0) * 0.5^0 * 0.5^3 = 1 * 1 * 0.125 = 0.125

- Когда X=1 (одно выпадение герба):
P(X=1) = C(3,1) * 0.5^1 * 0.5^2 = 3 * 0.5 * 0.25 = 0.375

- Когда X=2 (два выпадения герба):
P(X=2) = C(3,2) * 0.5^2 * 0.5^1 = 3 * 0.25 * 0.5 = 0.375

- Когда X=3 (три выпадения герба):
P(X=3) = C(3,3) * 0.5^3 * 0.5^0 = 1 * 0.125 * 1 = 0.125

Построим гистограмму, где по оси X отложены значения выпадений герба, а по оси Y - соответствующие вероятности.

Ряд распределения:
X | P(X)
0 | 0.125
1 | 0.375
2 | 0.375
3 | 0.125

Функция распределения:
F(X) = P(X≤k) = ∑ P(X=i), где i принимает значения от 0 до k.

2) Построение ряда распределения, гистограммы и функции распределения для количества набранных очков при попадании в мишень:

Ряд распределения показывает все возможные значения (набранные очки) и соответствующие вероятности. Для данной задачи, количество набранных очков может быть 10, 5, или -1. Используем формулу для расчета вероятностей:

P(X=k) = p(X=k) * P(X=k),

где P(X=k) - вероятность набрать k очков, p(X=k) - вероятность попадания в соответствующую мишень.

- Когда X=10 (попадание в круг №1):
P(X=10) = 0.5 * 10 = 5

- Когда X=5 (попадание в кольцо №2):
P(X=5) = 0.3 * 5 = 1.5

- Когда X=-1 (попадание в кольцо №3):
P(X=-1) = 0.2 * (-1) = -0.2

Построим гистограмму, где по оси X отложены значения набранных очков, а по оси Y - соответствующие вероятности.

Ряд распределения:
X | P(X)
10 | 5
5 | 1.5
-1 | -0.2

Функция распределения:
F(X) = P(X≤k) = ∑ P(X=i), где i принимает значения от -1 до k.

Пример использования:
1) Случайное число выпадений герба при 3 монетных бросках: Постройте ряд распределения, гистограмму и функцию распределения.
2) Очки за попадание в мишень: Постройте ряд распределения, гистограмму и функцию распределения для количества набранных очков при попадании в мишень.

Совет: Чтобы лучше понять теорию вероятностей для дискретных случайных величин, рекомендуется решать больше практических задач разного уровня сложности.

Упражнение: Случайная величина X представляет собой результат броска игральной кости. Постройте ряд распределения, гистограмму и функцию распределения для случайной величины X. Вероятности выпадения каждой грани равны 1/6.