Сколько шаров необходимо вынуть из урны, чтобы убедиться, что среди них есть хотя бы один черный шар?

Содержание вопроса: Вероятность и комбинаторика

Описание: Чтобы решить эту задачу, мы должны использовать принцип дополнения вероятностей. Вероятность получить отрицательный результат (т.е. не выбрать ни одного черного шара) равна произведению вероятностей всех шаров, которые будут вынуты из урны, не являющихся черными.

Предположим, что в урне всего два цвета шаров: черные и не черные. Пусть общее количество шаров в урне равно N, а количество черных шаров равно M. Вероятность первого шара, вынутого из урны, не являющегося черным, равна (N-M)/N. При каждом последующем извлечении шара без черного цвета вероятность также будет уменьшаться.

Нам нужно узнать, какое минимальное количество шаров нам нужно вынуть, чтобы гарантированно получить хотя бы один черный шар.

Мы можем выразить эту вероятность так: P = 1 - ((N-M)/N)^k, где k - количество вынутых шаров. Поскольку нам нужно гарантированно получить черный шар, вероятность отрицательного результата (отсутствие черного шара) должна быть равна нулю. То есть, P = 1.

Теперь мы можем записать следующее уравнение: 1 = 1 - ((N-M)/N)^k. Теперь решим это уравнение относительно k.

((N-M)/N)^k = 0, ищем k

Поскольку вероятность никогда не может быть равна нулю, мы должны выбрать достаточно большое значение k, чтобы выражение ((N-M)/N)^k стало меньше любого очень малого положительного числа, например, 0.001 или 0.0001. Таким образом, мы можем быть уверены, что решение k будет больше или равно log(0.001) по основанию ((N-M)/N), где log - логарифм по основанию ((N-M)/N).

Дополнительный материал:
У нас есть урна с 10 шарами, из которых 3 черных. Сколько шаров нам нужно вынуть, чтобы гарантированно получить хотя бы один черный шар?

Совет: Чтобы разобраться в этой задаче лучше, у вас могут быть несколько урн с разными количествами шаров и разными комбинациями черных и не черных шаров. Попробуйте решить каждую из этих задач для лучшего понимания.

Проверочное упражнение: У нас есть урна с 15 шарами, из которых 5 черных. Сколько шаров нам нужно вынуть, чтобы гарантированно получить хотя бы один черный шар?