Показать, что (a + b)(c + d) = ac + bc +ad + bd, используя площадь прямоугольника ABCD. 2) Показать, используя площадь

Содержание вопроса: Площадь прямоугольника и многочлены

Разъяснение:
Чтобы показать, что (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd, используем представление прямоугольника ABCD на плоскости.

Пусть сторона AB имеет длину a, сторона BC - b, сторона CD - c и сторона DA - d. Тогда площадь прямоугольника ABCD равна произведению его сторон: ABCD = (a + b)(c + d).

Кроме того, прямоугольник можно разделить на четыре части: прямоугольники ABEF, ADEF, BCFG и CDEG.

Площадь прямоугольника ABCD равна сумме площадей этих четырех частей: ABCD = ABEF + ADEF + BCFG + CDEG.

Теперь рассмотрим каждую из этих частей:

1) Прямоугольник ABEF с длиной стороны AB = a и шириной стороны BE = c имеет площадь ABEF = ac.
2) Прямоугольник ADEF с длиной стороны AD = d и шириной стороны DE = c имеет площадь ADEF = ad.
3) Прямоугольник BCFG с длиной стороны BC = b и шириной стороны CF = d имеет площадь BCFG = bd.
4) Прямоугольник CDEG с длиной стороны CD = c и шириной стороны DG = d имеет площадь CDEG = cd.

Таким образом, мы видим, что сумма площадей этих четырех частей равна AC + BC + AD + BD: ABEF + ADEF + BCFG + CDEG = ac + ad + bc + bd.

Следовательно, (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, что и требовалось показать.

Пример:
Пусть a = 2, b = 3, c = 4 и d = 5. Чтобы показать, что (2 + 3)(4 + 5) = 2*4 + 2*5 + 3*4 + 3*5 = 18 + 10 + 12 + 15 = 55, мы можем использовать разделение прямоугольника ABCD на четыре части и вычислить площади каждой части.

Совет:
Чтобы лучше понять это доказательство и работу с многочленами, можно нарисовать прямоугольник ABCD на листе бумаги и разделить его на четыре части. Затем подписать каждую из частей и рассмотреть их площади.

Дополнительное упражнение:
Представьте, что прямоугольник ABCD имеет длину стороны AB = a и ширину стороны BC = b. Разделите прямоугольник на две части, ABCE и ADFC. Выразите площадь прямоугольника ABCD через площади прямоугольников ABCE и ADFC.