Доказательство равенства углов и перпендикулярности отрезков
На рисунке 89 есть два одинаковых отрезка PQ и RQ, и угол PQC равен углу RQC. Докажите, что угол CPR равен углу
На рисунке 89 есть два одинаковых отрезка PQ и RQ, и угол PQC равен углу RQC. Докажите, что угол CPR равен углу CRP и отрезок CQ перпендикулярен отрезку PR.
11.12.2023 09:14
Написать свой ответ:
Инструкция:
Для доказательства равенства углов и перпендикулярности отрезков на рисунке 89, воспользуемся следующими теоремами и определениями.
Дано:
- Отрезок PQ равен отрезку RQ (PQ = RQ)
- Угол PQC равен углу RQC (∠PQC = ∠RQC)
Теорема о равносторонних треугольниках:
- Если у треугольника все три стороны равны, то все его углы также равны.
Теорема о равных углах:
- Если два угла треугольника равны, то соответствующие им противолежащие стороны также равны.
Теорема о перпендикулярных прямых:
- Если две прямые перпендикулярны друг другу, то все прямые, проведённые между ними, также будут перпендикулярны им.
Доказательство:
Для начала рассмотрим треугольники PQC и RQC. У них:
- Сторона PQ = сторона RQ (дано)
- Сторона QC общая для этих треугольников
- Угол PQC = угол RQC (дано)
Таким образом, треугольники PQC и RQC - равносторонние треугольники.
Следовательно, по теореме о равносторонних треугольниках, у треугольников PQC и RQC все углы равны.
Теперь рассмотрим треугольник PCR. У него:
- Сторона PC = сторона RC (общая для треугольников PQC и RQC)
- Угол CPR = угол CRP (по теореме о равных углах)
Следовательно, по теореме о равных углах, треугольник PCR является равнобедренным.
Из равнобедренного треугольника известно, что высота, проведенная из вершины к основанию, перпендикулярна основанию.
Таким образом, отрезок CQ перпендикулярен отрезку PR.
Таким образом, мы доказали, что угол CPR равен углу CRP и отрезок CQ перпендикулярен отрезку PR на рисунке 89.
Совет:
Чтобы лучше понять тему равенства углов и перпендикулярности отрезков, рекомендуется изучить определения различных видов углов (равных, смежных, вертикальных и т. д.) и основные теоремы о равенстве углов и перпендикулярности прямых.
Дополнительное задание:
На рисунке 90 даны две пересекающиеся прямые AB и CD. Углы ABE, CDE и FEG являются прямыми углами. Докажите, что углы ABE и FEG равны.