Какой радиус вписанного круга, если площадь круга, описанного около равностороннего треугольника, больше площади

Тема занятия: Радиус вписанного круга в равностороннем треугольнике

Описание:
Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства равностороннего треугольника и круга, вписанного в него.

Равносторонний треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны 60 градусам.

Давайте обозначим радиус вписанного круга как "r" и радиус описанного круга как "R".

По свойствам равностороннего треугольника, мы знаем, что радиус описанного круга R равен половине длины одной из сторон треугольника.

Таким образом, R = a/2, где "a" - это длина любой стороны равностороннего треугольника.

По формуле для площади круга, S = π * r^2, где "S" - это площадь круга.

Из условия задачи мы знаем, что площадь описанного круга больше площади вписанного круга на 12π см^2.

То есть, π * R^2 - π * r^2 = 12π. Упрощая уравнение, получаем: R^2 - r^2 = 12.

Теперь подставим R = a/2 в уравнение и заменим a на 2R:

(a/2)^2 - r^2 = 12.

Simplifying further, we get: a^2/4 - r^2 = 12.

Since a is the length of any side of an equilateral triangle, we know that a = 2R. Substituting this into the equation, we get:

(2R)^2/4 - r^2 = 12.

R^2 - r^2 = 12.

We can further simplify this equation by factoring it as (R - r)(R + r) = 12.

Now, we have two different expressions for R - r:

1. R - r = 12/(R + r).
2. R - r = √12.

By equating the two expressions for R - r, we have:

12/(R + r) = √12.

To solve for R, we can cross-multiply and simplify the equation:

12√12 = R + r.

R + r = 12√12.

Since we know that R = a/2 = 2R/2 = R, we can substitute R back into the equation:

R + r = 12√12.

R + R = 12√12.

2R = 12√12.

Simplifying further, we get:

R = 6√12.

Therefore, the radius of the inscribed circle in the equilateral triangle is 6√12.

Совет:
При решении задач, связанных с радиусом вписанного круга в равностороннем треугольнике, помните, что радиус описанного круга равен половине длины стороны треугольника. Используйте свойства равностороннего треугольника и формулу для площади круга, чтобы составить и решить уравнение.

Закрепляющее упражнение:
Требуется найти радиус вписанного круга в равностороннем треугольнике, если его площадь составляет 36π см².

Тема урока: Радиус вписанного круга в равностороннем треугольнике

Инструкция:
Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание о вписанном круге и окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника.
Радиус вписанного круга в равносторонний треугольник равен половине высоты треугольника.

Давайте обозначим радиус вписанного круга как "r". Площадь круга, описанного около равностороннего треугольника, равна πr^2, где "π" - это число пи, которое примерно равно 3,14.
Площадь вписанного круга равна π(r/2)^2 = (πr^2)/4.

Нам сказано, что площадь круга, описанного около равностороннего треугольника, больше площади вписанного в него круга на 12π см^2. То есть, πr^2 - (πr^2)/4 = 12π.

Решая данное уравнение, мы получаем:
3πr^2/4 = 12π
Упрощая это уравнение, мы получаем:
3r^2/4 = 12
Умножая обе части уравнения на 4/3, мы получаем:
r^2 = 16
Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, мы получаем:
r = 4

Таким образом, радиус вписанного круга равностороннего треугольника равен 4.

Например:
Задача: В равностороннем треугольнике площадь круга, описанного около него, больше площади впитанного круга на 12π см^2. Найдите радиус вписанного круга.
Решение: Радиус вписанного круга равен 4.

Совет:
Для понимания данной задачи полезно помнить, что в равностороннем треугольнике высота, проведенная из вершины до основания, также является медианой и биссектрисой.

Дополнительное упражнение:
В равностороннем треугольнике площадь круга, описанного около него, больше площади вписанного круга на 16π см^2. Найдите радиус вписанного круга.