Каковы углы треугольника, если его вершины имеют координаты A (1; –1), B (1 + 2√2; –1) и C (–1, 1 + √2)?

Суть вопроса: Углы треугольника с заданными координатами вершин

Разъяснение: Чтобы найти углы треугольника с заданными координатами вершин, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Сначала мы найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости. Затем мы применим теорему косинусов, которая гласит:

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 * b * c)

где A - угол при вершине A, b и c - длины сторон треугольника, противолежащих этому углу, a - длина стороны треугольника, соединяющей вершину A и основание треугольника.

Вычисляя углы с использованием этой формулы для каждой вершины треугольника, мы получим углы треугольника.

Демонстрация:
1. Найдем длины сторон треугольника:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
= √((1 + 2√2 - 1)^2 + (-1 - (-1))^2)
= √((2√2)^2 + 0^2)
= √(8)
= 2√2

BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)
= √((-1 - (1 + 2√2))^2 + (1 + √2 - (-1))^2)
= √((-1 - 1 - 2√2)^2 + (2 + √2)^2)
= √((-2 - 2√2)^2 + (2 + √2)^2)
= √(4 + 8√2 + 8 + 2 + 4√2 + 2)
= √(14 + 12√2)

CA = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)
= √((-1 - 1)^2 + (1 + √2 - (-1))^2)
= √((-2)^2 + (2 + √2 + 1)^2)
= √(4 + (3 + √2)^2)
= √(4 + 9 + 6√2 + 2√2 + 2)
= √(15 + 8√2)

2. Найдем углы треугольника:
Угол A = arccos((BC^2 + CA^2 - AB^2) / (2 * BC * CA))
Угол B = arccos((CA^2 + AB^2 - BC^2) / (2 * CA * AB))
Угол C = arccos((AB^2 + BC^2 - CA^2) / (2 * AB * BC))

3. Подставим значения сторон в формулы и вычислим углы.

Совет: При решении таких задач полезно использовать графическое представление треугольника на координатной плоскости, чтобы визуализировать его положение и легче понять, как решать задачу.

Ещё задача: Найдите углы треугольника с вершинами A(0, 0), B(4, 0) и C(2, 2).