Каковы нижняя и верхняя границы числа m выпадений шестёрки, если игральную кость бросили 80 раз с вероятностью 0,99?

Тема занятия: Вероятность уровня числа м выпадений шестёрки

Разъяснение: Для решения этой задачи можно использовать биномиальное распределение. В нем вероятность успеха (падение шестерки) обозначается как p, а количество испытаний обозначается как n.

Вероятность успеха p в каждом испытании составляет 1/6 (так как у нас есть 6 возможных результатов на кости, и нам нужна шестерка). Испытания независимы друг от друга, поэтому мы можем использовать биномиальное распределение. Мы ищем нижнюю и верхнюю границы количества успехов m, если игральную кость бросили 80 раз.

Чтобы найти эти границы, мы можем использовать неравенство Чебышёва. Согласно этому неравенству, вероятность того, что количество успехов m отклоняется от среднего значения более чем на k стандартных отклонений, меньше или равна 1/k^2.

В данном случае, мы знаем вероятность успеха p=1/6, количество испытаний n=80, и вероятность 0.99 (или точность 99%) соответствует k. Используя формулу Чебышёва, мы можем найти необходимый k и затем вычислить границы m.

Доп. материал:
Вероятность успеха (падение шестерки) p = 1/6
Количество испытаний (бросков кости) n = 80
Точность (вероятность) 0.99

Мы хотим найти нижнюю и верхнюю границы числа m выпадений шестерки.

Совет: Для лучшего понимания биномиального распределения и неравенства Чебышева, рекомендуется ознакомиться с формулами и примерами из учебника по математике.

Дополнительное упражнение:
Каковы нижняя и верхняя границы числа m выпадений шестёрки, если игральную кость бросили 100 раз с вероятностью 0,95?

Имя: Распределение Бернулли

Инструкция: Распределение Бернулли используется для моделирования ситуаций, где есть только два возможных исхода: успех или неудача. В данной задаче мы имеем игральную кость, которую бросили 80 раз. Вероятность выпадения шестерки в каждом броске составляет 0,99.

Для определения нижней и верхней границы числа m выпадений шестерки с использованием распределения Бернулли, мы можем использовать неравенство Чебышёва. Это неравенство гарантирует, что вероятность отклонения случайной величины от её среднего значения не будет превышать заданное значение. Формула Чебышёва выглядит следующим образом:

P(|X - E(X)| < с) ≥ 1 - (Var(X)/(с^2)),

где X - случайная величина, E(X) - её математическое ожидание, Var(X) - её дисперсия, с - заданное значение.

В нашем случае, E(X) = p * n, где p - вероятность успеха (выпадения шестерки), n - количество испытаний (80).
Var(X) = p * (1 - p) * n.

Учитывая, что мы хотим найти границы выпадения шестерки с вероятностью 0,99, можем поставить в формулу значение с = n - к, где к - число наблюдений выпадения шестерки для нижней границы, и к = n + к для верхней границы. Подставив значения в формулу Чебышёва и решив её относительно m, мы можем определить границы.

Доп. материал:

Для нашей задачи имеем:

p = 0,99
n = 80
с = 0,01 * n

Вычислим значения нижней и верхней границ:

Нижняя граница: m = n - sqrt(Var(X) / (с^2))
Верхняя граница: m = n + sqrt(Var(X) / (с^2))

Совет: Для лучшего понимания материала рекомендуется обратить внимание на формулу Чебышёва и работать с примерами, чтобы понять, как она применяется в различных ситуациях. Также полезно знать, что неравенство Чебышёва является консервативной оценкой и может давать широкие границы.

Упражнение: Используя распределение Бернулли, определите нижнюю и верхнюю границы числа успехов (выпадения шестерки на игральной кости) при 200 испытаниях с вероятностью успеха 0,8 и вероятностью 0,95.