Каково отношение радиусов орбит двух искусственных спутников Земли, имеющих орбитальные периоды, отличающиеся в 8 раз?
Каково отношение радиусов орбит двух искусственных спутников Земли, имеющих орбитальные периоды, отличающиеся в 8 раз?
27.11.2023 13:31
Написать свой ответ:
Пояснение: Орбитальный период искусственного спутника - это время, за которое спутник завершает полный оборот вокруг Земли. По законам Кеплера, период зависит от радиуса орбиты и массы Земли.
Пусть у нас есть два искусственных спутника с орбитальными периодами P₁ и P₂, где P₂ = P₁ * 8. По формуле Кеплера, отношение кубов радиусов орбит равно отношению квадратов периодов:
(r₂/r₁)³ = (P₂/P₁)²
Заменим P₂ = P₁ * 8:
(r₂/r₁)³ = (8P₁/P₁)²
Упрощаем:
(r₂/r₁)³ = 64
Извлекаем кубический корень:
(r₂/r₁) = 4
Таким образом, отношение радиусов орбит двух искусственных спутников Земли, имеющих орбитальные периоды, отличающиеся в 8 раз, будет равно 4.
Пример: Пусть один спутник имеет орбитальный период 4 дня. Какова будет длина орбиты второго спутника, если его период отличается в 8 раз?
Совет: Чтобы лучше понять данную тему, рекомендуется изучить законы Кеплера и базовые математические понятия, такие как кубический корень и пропорциональность.
Ещё задача: Орбитальный период одного искусственного спутника равен 10 часам. Найдите длину орбиты другого спутника с отношением орбитальных периодов 1/6.
Разъяснение: Представим, что у первого спутника радиус орбиты равен r. Также, из условия задачи мы знаем, что периоды орбит этих двух спутников отличаются в 8 раз. Период орбиты - это время, за которое спутник совершает полный оборот вокруг Земли. Известно, что период обращения спутника пропорционален квадрату радиуса орбиты.
Мы можем записать формулу, связывающую период и радиус орбиты:
T = 2π√(r³/GM),
где T - период орбиты, r - радиус орбиты, G - гравитационная постоянная, M - масса Земли.
Таким образом, у нас есть две формулы для первого и второго спутников:
T₁ = 2π√(r₁³/GM),
T₂ = 2π√(r₂³/GM).
Мы знаем, что периоды орбит этих двух спутников отличаются в 8 раз. Запишем это в виде уравнения:
T₂ = 8T₁.
Подставив это уравнение в формулы периода орбиты, мы можем найти отношение радиусов орбит двух спутников:
2π√(r₂³/GM) = 8 * 2π√(r₁³/GM).
Упрощая выражение, получаем:
r₂³ = 64r₁³.
Из этого уравнения можно легко выразить отношение радиусов орбит:
(r₂/r₁)³ = 64.
Извлекая кубический корень из обеих сторон уравнения, получаем:
r₂/r₁ = 4.
Таким образом, отношение радиусов орбит двух искусственных спутников Земли, имеющих орбитальные периоды, отличающиеся в 8 раз, равно 4.
Например: Пусть радиус орбиты первого спутника равен 1000 км. Какой радиус орбиты должен иметь второй спутник, чтобы периоды их орбит отличались в 8 раз?
Совет: Чтобы лучше понять эту тему, полезно будет изучить законы Ньютона о движении и гравитацию.
Задание для закрепления: Если период орбиты первого спутника равен 2 часам, каков период орбиты второго спутника, если их радиусы орбит отличаются в 12 раз? Ответите с помощью уравнения T₂ = kT₁, где k - отношение радиусов орбит.