Какова масса планеты (в отношении массы Земли), если искусственный спутник движется в предельно низкой орбите

Тема урока: Масса планеты на основе орбиты спутника

Описание: Чтобы определить массу планеты, используя период и радиус орбиты спутника, мы можем использовать третий закон Кеплера и закон всемирного тяготения.

Первым шагом мы определяем период Т в секундах, так как формула для закона всемирного тяготения требует период в секундах. В данной задаче период спутника равен 3 часам, что составляет 180 минут или 180 * 60 = 10800 секунд.

Затем мы используем третий закон Кеплера, который гласит, что кубы полурасстояния а (радиус орбиты) и периода Т (в секундах) обратно пропорциональны: a^3/T^2 = const.

В данной задаче радиус планеты втрое больше земного радиуса, поэтому a (радиус орбиты) будет равно 3R (где R - земной радиус).

Применяя закон Кеплера, мы можем записать уравнение: (3R)^3 / (10800)^2 = const.

Решив это уравнение, мы получаем const ≈ 3.59 * 10^(-14).

И, наконец, используя закон всемирного тяготения F = G * (m1 * m2) / r^2, где F - сила притяжения, G - гравитационная постоянная, m1 - масса спутника, m2 - масса планеты и r - расстояние между их центрами, мы можем выразить массу планеты:

F = (m1 * m2) * const / (3R)^2,

где F = m1 * g (сила тяжести спутника на его орбите, эквивалентная его массе умноженной на ускорение свободного падения g, которое примерно равно 9.8 м/с^2).

Подставляя все в уравнение, мы получаем: m2 = (m1 * g * (3R)^2) / const.

Определите массу планеты, подставляя значения m1 = 100 кг (произвольная масса спутника), g = 9.8 м/с^2 и R = 6371 км (земной радиус).

Доп. материал: Дано: m1 = 100 кг, g = 9.8 м/с^2, R = 6371 км.

Вычислите массу планеты (в отношении массы Земли).

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется ознакомиться с законом всемирного тяготения, третьим законом Кеплера и выражением для периода орбиты спутника.

Упражнение: Предположим, что радиус планеты вдвое больше земного радиуса. Как это повлияет на массу планеты (в отношении массы Земли)?

Содержание вопроса: Расчет массы планеты по периоду движения и радиусу орбиты спутника.

Инструкция: Для решения этой задачи, мы можем использовать законы движения небесных тел, в частности, третий закон Кеплера.

Период обращения спутника вокруг планеты связан с радиусом орбиты и массой планеты следующим образом:

T^2 = (4π^2 / GM) * r^3,

где T - период обращения спутника, G - гравитационная постоянная, M - масса планеты, а r - радиус орбиты спутника.

В нашей задаче, период обращения спутника равен 3 часам, а радиус орбиты равен втрое больше радиуса Земли.

Подставляя известные значения, мы получим:

3^2 = (4π^2 / G * M) * (3R)^3,

где R - радиус Земли.

Упрощая уравнение, мы получим:

9 = (4π^2 / G * M) * 27R^3.

Теперь мы можем выразить массу планеты M:

M = (4π^2 / G) * 27R^3 / 9.

Разделив числитель и знаменатель на 9, получим:

M = (4π^2 / G) * 3R^3.

Раскрывая скобки, получим:

M = (4π^2 / G) * 3 * R * R * R.

Таким образом, масса планеты M равна произведению константы (4π^2 / G) на 3 и радиус планеты в кубе.

Например:
Какова масса планеты, если искусственный спутник движется в предельно низкой орбите с периодом 3 часа вокруг планеты, радиус которой втрое больше земного?

Решение:
M = (4π^2 / G) * 3 * R^3

M = (4 * 3.14^2 / (6.674 * 10^-11)) * 3 * R^3

M = 5.5675 * R^3

M = 5.5675 * (3R)^3

M = 5.5675 * 27 * R^3

M = 150.1525 * R^3

Масса планеты, в отношении массы Земли, составляет 150.1525 раз.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, рекомендую ознакомиться с законами Кеплера и узнать больше о гравитационной постоянной.

Задача для проверки: Планета имеет в 2 раза больший радиус, чем Земля, и искусственный спутник движется вокруг нее с периодом в 4 раза короче, чем период обращения спутника Земли. Какова будет масса этой планеты по сравнению с массой Земли?