Какое скалярное произведение векторов АВ и АС, если на рисунке дан равнобедренный треугольник ABC с основанием

Тема: Скалярное произведение векторов

Объяснение: Дана задача о вычислении скалярного произведения векторов АВ и АС в равнобедренном треугольнике ABC. Скалярное произведение векторов определяется как произведение модулей векторов на косинус угла между ними.

Сначала нам необходимо найти векторы АВ и АС. Вектор AB можно получить, вычтя координаты точки B из координат точки A: AB = (xB - xA, yB - yA). Аналогично, вектор AC можно получить, вычтя координаты точки C из координат точки A: AC = (xC - xA, yC - yA).

Затем вычислим модули векторов AB и AC с помощью формулы длины вектора: |AB| = √((xB - xA)² + (yB - yA)²) и |AC| = √((xC - xA)² + (yC - yA)²).

Далее, найдем косинус угла между векторами AB и AC с помощью формулы: cos(θ) = (AB ⋅ AC) / (|AB| * |AC|), где AB ⋅ AC - скалярное произведение векторов AB и AC, а |AB| и |AC| - модули векторов AB и AC соответственно.

Наконец, умножим модули векторов AB и AC на косинус угла между ними, чтобы получить скалярное произведение: AB ⋅ AC = |AB| * |AC| * cos(θ).

Пример использования: Вектор AB = (2, 3), вектор AC = (4, 0). |AB| = √((2 - 0)² + (3 - 0)²) = √(4 + 9) = √13, |AC| = √((4 - 0)² + (0 - 0)²) = √16 = 4. Угол θ = 75 градусов. cos(75°) ≈ 0.2588. AB ⋅ AC ≈ √13 * 4 * 0.2588 ≈ 2.1103.

Совет: Для понимания скалярного произведения векторов полезно разобраться в его геометрическом и алгебраическом представлении. Геометрически, скалярное произведение показывает, насколько два вектора сонаправлены или противонаправлены. Алгебраически, скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих компонент векторов.

Упражнение: В заданном треугольнике ABC с координатами точек A(-2, 1), B(4, 3), C(1, -5) вычислите скалярное произведение векторов AB и AC.