Какая процедура используется для определения точки пересечения двух плоскостей?

Суть вопроса: Определение точки пересечения двух плоскостей

Разъяснение: Чтобы определить точку пересечения двух плоскостей, мы можем использовать метод решения системы уравнений. Каждая плоскость представляется уравнением, содержащим координаты (x, y, z) и константу. Обычно уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C - коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости, а D - константа.

Для определения точки пересечения этих двух плоскостей, мы можем использовать следующую систему уравнений:

\[
\begin{align*}
A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 &= 0 \\
A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 &= 0 \\
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения. При использовании метода подстановки мы можем выразить одну переменную через другую в одном уравнении и подставить это выражение во второе уравнение, получив уравнение с одной неизвестной переменной. Затем мы можем найти значения переменных, чтобы определить точку пересечения двух плоскостей.

Например: Пусть даны две плоскости с уравнениями 2x + 3y - z +5 = 0 и x + 2y + 4z -3 = 0. Найдите точку их пересечения.

Решение: Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или исключения. Выберем метод исключения:

1) Умножим первое уравнение на 2 и второе уравнение на -1, чтобы избавиться от коэффициента x во втором уравнении:

\[
\begin{align*}
4x + 6y - 2z + 10 &= 0 \\
-x - 2y - 4z + 3 &= 0 \\
\end{align*}
\]

2) Теперь сложим эти уравнения и упростим:

\[
4x + 6y - 2z + 10 + (-x) - 2y - 4z + 3 = 0
\]

\[
3x + 4y - 6z + 13 = 0
\]

3) Решим это уравнение для x:

\[
3x = -4y + 6z - 13
\]

\[
x = -\frac{4y}{3} + 2z - \frac{13}{3}
\]

Теперь, подставив значение x в одно из исходных уравнений, мы можем найти значения y и z:

\[
2(-\frac{4y}{3} + 2z - \frac{13}{3}) + 3y - z + 5 = 0
\]

4) Решим это уравнение для y:

\[
-8y + 4z - \frac{26}{3} + 3y - z + 5 = 0
\]

\[
-5y + 3z - \frac{11}{3} = 0
\]

5) Решим это уравнение для z:

\[
5z = \frac{11}{3} - 3y
\]

\[
z = \frac{\frac{11}{3} - 3y}{5}
\]

Мы нашли, что x = -\frac{4y}{3} + 2z - \frac{13}{3}, y - раскрываем и находим y = -\frac{56}{79}, а z - подставляем найденное значение y в предыдущее уравнение и находим z = \frac{174}{79}. Таким образом, точка пересечения двух плоскостей - это \(\left(-\frac{56}{79}, -\frac{174}{79}, \frac{174}{79}\right)\).

Совет: При решении системы уравнений методом подстановки или исключения, обратите внимание на упрощение и арифметические операции, чтобы избежать ошибок.

Задание: Найдите точку пересечения двух плоскостей, заданных уравнениями:

1) 3x + 2y - z = 7, x - 4y + 2z = -3
2) 2x + y + z = 4, x - 3y + 5z = 2

(Ответ: точка пересечения для уравнения 1 - (1, -2, 4); точка пересечения для уравнения 2 - (5, -1, 0))