Какая площадь описанного около треугольника и вписанного в него круга, если стороны треугольника равны 10 см, 17

Тема: Площадь описанного около треугольника и вписанного в него круга

Разъяснение: Для решения данной задачи нам потребуется формула, связывающая радиус вписанного в треугольник круга (r) и радиус описанного около треугольника круга (R) с длинами сторон треугольника (a, b, c):

1. Площадь описанного около треугольника круга вычисляется по формуле: S_оп = π * R^2, где π (пи) – математическая константа примерно равная 3.14.

2. Площадь вписанного в треугольник круга вычисляется по формуле: S_вп = π * r^2.

3. Для нахождения радиусов R и r воспользуемся формулами: R = (a * b * c) / (4 * S_тр), r = S_тр / p, где S_тр – площадь треугольника, которая может быть вычислена по формуле Герона: S_тр = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p – полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

Пример использования: По условию задачи стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найдем площадь описанного около треугольника круга и площадь вписанного в него круга.

1. Вычислим площадь треугольника с помощью формулы Герона:
p = (a + b + c) / 2 = (10 + 17 + 21) / 2 = 24
S_тр = sqrt(24 * (24 - 10) * (24 - 17) * (24 - 21)) ≈ 84.85 см².

2. Теперь найдем радиусы окружностей:
R = (a * b * c) / (4 * S_тр) = (10 * 17 * 21) / (4 * 84.85) ≈ 5.42 см,
r = S_тр / π ≈ 84.85 / 3.14 ≈ 26.99 см.

3. Вычислим площади окружностей:
S_оп = π * R^2 ≈ 3.14 * 5.42^2 ≈ 92.08 см²,
S_вп = π * r^2 ≈ 3.14 * 26.99^2 ≈ 2285.23 см².

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется повторить формулы для нахождения площади треугольника и окружности, а также способы вычисления радиусов окружностей, вписанных и описанных около треугольника.

Упражнение: Найдите площадь описанного около треугольника круга и площадь вписанного в него круга, если стороны треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см.