Как найти угол между векторами, используя формулу Cos φ = a1• a2/ |a1| • |a2|? a) Найдите угол между векторами a1(2

Тема занятия: Угол между векторами

Описание: Чтобы найти угол между векторами с помощью формулы Cos φ = a1• a2/ |a1| • |a2|, мы можем следовать следующим шагам:

1. Найдите скалярное произведение векторов a1 и a2, умножив соответствующие компоненты их координат:
- Для a1(2, 3) и a2(1, -2): a1•a2 = 2*1 + 3*(-2) = 2 - 6 = -4.
- Для a1(1, 2) и a2(1, 3): a1•a2 = 1*1 + 2*3 = 1 + 6 = 7.

2. Найдите длины векторов a1 и a2, используя формулу |a| = √(x^2 + y^2), где (x, y) - координаты вектора:
- Для a1(2, 3): |a1| = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13.
- Для a2(1, -2): |a2| = √(1^2 + (-2)^2) = √(1 + 4) = √5.

3. Подставьте найденные значения в формулу Cos φ = a1• a2/ |a1| • |a2|:
- Для a1(2, 3) и a2(1, -2): Cos φ = -4 / (√13 * √5).
- Для a1(1, 2) и a2(1, 3): Cos φ = 7 / (√13 * √10).

4. Вычислите значение Cos φ с помощью калькулятора.

5. Найдите угол φ, возьмите обратный Cosine (арккосинус) найденного значения.

Например:
а) Для a1(2, 3) и a2(1, -2):
- a1•a2 = 2*1 + 3*(-2) = -4.
- |a1| = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13.
- |a2| = √(1^2 + (-2)^2) = √(1 + 4) = √5.
- Cos φ = -4 / (√13 * √5).
- Угол φ ≈ arccos(Cos φ).

б) Для a1(1, 2) и a2(1, 3):
- a1•a2 = 1*1 + 2*3 = 7.
- |a1| = √(1^2 + 2^2) = √(1 + 4) = √5.
- |a2| = √(1^2 + 3^2) = √(1 + 9) = √10.
- Cos φ = 7 / (√5 * √10).
- Угол φ ≈ arccos(Cos φ).

Совет: Один из способов запомнить формулу Cos φ = a1• a2/ |a1| • |a2| - это представить, что скалярное произведение векторов a1 и a2 делится на перемножение их длин.

Дополнительное упражнение: Найдите угол между векторами а1(3, 4) и а2(-1, 2).