Докажите, что среди n+1 натурального числа можно найти два числа, у которых разность делится нацело

Тема урока: Докажите, что среди n+1 натурального числа можно найти два числа, у которых разность делится нацело

Объяснение: Рассмотрим n+1 натуральное число. Мы можем представить эти числа в виде последовательности: a1, a2, a3, ..., an, an+1. Для простоты, допустим, что a1 < a2 < a3 < ... < an < an+1.

Разберем два случая:

1. Если среди чисел a1, a2, ..., an есть два числа с одинаковыми остатками при делении на n, то их разность делится нацело на n. Действительно, пусть a_i и a_j (где i < j) имеют одинаковый остаток при делении на n. Тогда a_j - a_i = k * n, где k - некоторое натуральное число.

2. Если все числа a1, a2, ..., an имеют разные остатки при делении на n, рассмотрим остатки от деления на n для чисел a1 + n, a2 + n, ..., an + n:

a1 + n ≡ r1 (mod n)
a2 + n ≡ r2 (mod n)
...
an + n ≡ rn (mod n)

Здесь r1, r2, ..., rn - это остатки. Из принципа Дирихле следует, что среди r1, r2, ..., rn обязательно найдутся два числа с одинаковыми остатками. Пусть это будут r_i и r_j (где i < j). Тогда a_i + n - a_j - n = a_i - a_j делится нацело на n.

Таким образом, мы показали, что среди n+1 натурального числа всегда можно найти два числа, разность которых делится нацело на n.

Демонстрация: Пусть у нас есть 6 натуральных чисел: 2, 4, 6, 8, 10, 12. В данном случае n = 5. Можно заметить, что разность между 2 и 12 равна 10, что делится нацело на 5.

Совет: Для лучшего понимания доказательства, можно рассмотреть примеры с конкретными натуральными числами. Это поможет проиллюстрировать разницу между двумя случаями и подтвердить вывод.

Практика: Подтвердите, что среди 8 натуральных чисел всегда можно найти два числа, у которых разность делится нацело на 7.