Докажите, что прямая AC делит отрезок PQ пополам в параллелограмме ABCD, где точки P и Q на сторонах AB и CD таковы

Предмет вопроса: Серединный перпендикуляр в параллелограмме

Инструкция:

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Из данного условия следует, что сторона AB параллельна стороне CD, а сторона BC параллельна стороне AD.

Чтобы доказать, что прямая AC делит отрезок PQ пополам в параллелограмме ABCD, мы должны показать, что точка M, середина отрезка PQ, лежит на прямой AC.

Для доказательства этого факта, рассмотрим треугольники APQ и MCQ. У них уже известны две равных стороны: AP равно MC, так как это противоположные стороны параллелограмма, и PQ равно CQ, по определению параллелограмма.

Теперь необходимо обратиться к свойству треугольников, которое гласит: если два треугольника имеют две равные стороны и одну равную медиану, проведенную к этой стороне, то эти треугольники равны.

Следовательно, треугольники APQ и MCQ равны, и у них равны соответствующие углы. Таким образом, угол APC равен углу QMC.

Но угол APC равен углу CBA, так как это противоположные углы параллелограмма.

Таким образом, угол QMC равен углу CBA, что означает, что прямая AC делит отрезок PQ пополам в параллелограмме ABCD.

Демонстрация:
Докажите, что прямая EF делит отрезок CD пополам в параллелограмме ABCD, где точки Е и F на сторонах AB и BC таковы, что AE = BF.

Совет:
Для полного понимания доказательства вам может быть полезно рассмотреть свойства параллелограмма и свойства треугольников, особенно по поводу равных сторон и углов.

Упражнение:
Докажите, что в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке, делящей их пополам.