Докажите, что для любых чисел a и b с наибольшим общим делителем (НОД) равным 1, НОД(2a+b,a(a+b)) также равен

Тема: Доказательство равенства НОД

Объяснение: Чтобы доказать, что наибольший общий делитель (НОД) двух чисел равен 1, необходимо показать, что эти числа не имеют общих делителей, кроме единицы. В данной задаче нам даны числа a и b с НОД, равным 1. Нам нужно доказать, что НОД(2a+b,a(a+b)) также равен 1.

Сначала давайте рассмотрим наше первое число: 2a + b. Предположим, что у него есть делитель d, который больше 1. Это означает, что 2a + b делится на d без остатка. Теперь мы можем записать это как:

2a + b = cd, где c - некоторое целое число.

Теперь рассмотрим второе число: a(a + b). Предположим, что у него также есть делитель d, отличный от 1. Это означает, что a(a + b) делится на d без остатка. Мы можем записать это как:

a(a + b) = ed, где e - некоторое целое число.

Теперь давайте объединим эти два уравнения:

2a + b = cd
a(a + b) = ed

Обратите внимание, что левая сторона первого уравнения содержит выражение 2a, которое является делителем выражения a(a + b). В таком случае, d должно делить и 2a, и a(a + b). Но также мы знаем, что НОД(a, 2a + b) равен 1. Это означает, что d не может быть больше 1, так как НОД должен быть равен 1.

Таким образом, мы доказали, что НОД(2a + b, a(a + b)) также равен 1, так как эти два числа не имеют общих делителей, отличных от 1.

Пример использования: Докажите, что для a = 3 и b = 4, НОД(2a + b, a(a + b)) равен 1.

Совет: Чтобы лучше понять и запомнить этот тип доказательства, рекомендуется упражняться в доказательствах НОД для различных числовых значений a, b.

Упражнение: Докажите, что для a = 5 и b = 7, НОД(2a + b, a(a + b)) равен 1.