Чему равен АС? Треугольник ABC вписан в окружность с радиусом 5. Точка D проведена перпендикулярно к АС (A—D—C

Тема урока: Теорема о хордах и касательных

Инструкция:
Данная задача связана с теоремой о хордах и касательных в окружности. Согласно этой теореме, если из точки, лежащей на хорде окружности, провести перпендикуляр к диаметру окружности, то полученная хорда будет разбивать исходную хорду на две части, так что их произведение будет равно квадрату расстояния от данной точки до центра окружности.

В данной задаче треугольник ABC вписан в окружность радиусом 5, где AB = 5 и AD = 3. Точка D находится на хорде AC, причем проведена перпендикулярно к диаметру. Мы хотим выяснить, чему равно AC.

Используя теорему о хордах и касательной, мы знаем, что AB * BC = AD * CD. Подставив известные значения, получим 5 * BC = 3 * CD.

Отсюда мы можем выразить BC: BC = (3 * CD) / 5.

Однако нам нужно найти значение AC, а не BC. Заметим, что AC = AB + BC.

Подставим значение BC: AC = AB + (3 * CD) / 5.

Теперь нам нужно найти значение CD. Здесь мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ADC: (AD^2) + (CD^2) = (AC^2).

Подставим известные значения: (3^2) + (CD^2) = (AC^2).

Решив это уравнение, мы сможем найти значение AC.

Доп. материал:
Подставив известные значения в уравнение, получим: (3^2) + (CD^2) = (AC^2). Найдите значение AC.

Совет:
Чтобы лучше понять и запомнить теорему о хордах и касательных, рекомендуется провести несколько собственных рисунков и примеров, чтобы увидеть, как хорда разбивается перпендикуляром. Также полезно запомнить формулу AB * BC = AD * CD, которая является основой для решения подобных задач.

Проверочное упражнение:
Пусть треугольник ABC вписан в окружность с радиусом 8. Точка D проведена перпендикулярно к АС (A—D—C). AB равно 6, а AD равно 4. Чему равно AC?

Содержание: Теорема о касательной и хорде

Инструкция:
Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать свойство треугольника, вписанного в окружность. Согласно свойству треугольника, угол, стоящий на хорде, равен половине угла, стоящего на соответствующей дуге. В данном случае, хорда AC является основанием треугольника ABC, а дуга AC – углом.

Поскольку угол ADC является прямым, то у него величина 90 градусов. Следовательно, угол ACB, стоящий на дуге AC, равен 180 минус 90, т.е. 90 градусов.

Теперь, чтобы найти длину хорды AC, мы можем использовать теорему косинусов.

В треугольнике ABC у нас имеется известная сторона AB (5), сторона BC (неизвестная, обозначим ее x) и угол ACB (90 градусов).

Согласно теореме косинусов:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(ACB)

Подставляя известные значения, получим:
x^2 = 5^2 + AC^2 - 2 * 5 * AC * cos(90)

Вычисляем это уравнение, замечая, что cos(90) = 0:
x^2 = 25 + AC^2 - 2 * 5 * AC * 0

Упрощаем выражение:
x^2 = 25 + AC^2

Теперь, у нас есть второе уравнение, которое обозначает основание перпендикуляра AD. Отрезок AD равен 3, а угол BAD также равен 90 градусов. Поэтому, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения AC.

В треугольнике ACD у нас имеется известная сторона AD (3), сторона AC (неизвестная, обозначим ее АС) и сторона CD (неизвестная, но равна x).

Согласно теореме Пифагора:
AC^2 = AD^2 + CD^2

Подставляя известные значения, получим:
AC^2 = 3^2 + x^2

Теперь, у нас имеется система из двух уравнений:
x^2 = 25 + AC^2
AC^2 = 3^2 + x^2

Решая эту систему уравнений, можем найти значения x и AC.

Например:
Задача: Чему равен AC? Треугольник ABC вписан в окружность с радиусом 5. Точка D проведена перпендикулярно к АС (A—D—C). АВ равно 5, а AD равно 3. Что равно AC?

Совет:
Записывайте известные факты и используйте теоремы и свойства, которые вам известны, чтобы решить задачу. Не стесняйтесь использовать геометрические свойства и формулы, такие как теорема Пифагора и теорема косинусов, для нахождения неизвестных значений в треугольниках и окружностях. Для успешного решения задачи необходимо быть внимательным и применять правильные формулы и свойства для данной ситуации.

Задача на проверку:
Вписанный в окружность треугольник DEF имеет радиус 6. Дуга DE образует угол в 60 градусов. Точка G проведена перпендикулярно к DF (D—G—F). Длина отрезка DG равна 3. Чему равна FG?