Какова мера угла B в прямоугольном треугольнике ABC, если известно, что прямая CD является высотой, а значения DA

Тема: Углы в прямоугольном треугольнике

Инструкция: Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать свойства прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике, высота, проведенная к основанию, разделяет его на два прямоугольных треугольника.

Так как CD является высотой, она перпендикулярна к гипотенузе AB и проходит через вершину прямого угла C. У нас есть известные значения DA и AC, равные 4 и 8 соответственно.

С помощью теоремы Пифагора мы можем вычислить длину гипотенузы AB. Теорема Пифагора гласит:

AB^2 = AC^2 + BC^2

Так как мы уже знаем значение AC (равное 8), мы можем подставить его в формулу и решить уравнение относительно BC:

AB^2 = 8^2 + BC^2
AB^2 = 64 + BC^2

Теперь у нас есть уравнение, в котором мы ищем BC. Зная, что BC - это катет, а AB - это гипотенуза треугольника B, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника B.

Аналогично, можем считать, что CD является катетом треугольника B, поэтому имеем:

BC^2 = CD^2 + BD^2

Так как CD является высотой и проходит через прямой угол C, то BD будет равен значению DA (4). Теперь мы можем подставить значения и решить уравнение:

BC^2 = 4^2 + BD^2
BC^2 = 16 + 4^2
BC^2 = 16 + 16
BC^2 = 32

Теперь, чтобы найти BC, мы должны извлечь квадратный корень из обеих сторон уравнения:

BC = √32
BC = 4√2

Таким образом, длина катета BC равна 4√2.

Так как мы уже знаем значения катетов AC и BC, мы можем найти значения углов в прямоугольном треугольнике с помощью следующих формул:

sin(A) = BC / AB
sin(B) = AC / AB

Теперь, подставляя значения, имеем:

sin(A) = (4√2) / (8)
sin(A) = √2 / 2
A = 45°

sin(B) = 8 / (8)
sin(B) = 1
B = 90°

Таким образом, мера угла B в прямоугольном треугольнике ABC равна 90 градусов.

Совет: Для понимания этой задачи важно знать определения и свойства прямоугольных треугольников, а также быть знакомыми с основными тригонометрическими функциями (синус, косинус и тангенс). Регулярная практика в решении подобных задач поможет лучше усвоить эти концепции.

Упражнение: В прямоугольном треугольнике ABC с углом A равным 30 градусов и гипотенузой AB равной 10, найдите значения катетов BC и AC.