Які значення x та y задовольняють систему рівнянь xy - x/y = 6 та 3xy + 2x/y

Название: Решение системы уравнений

Инструкция: Для решения системы уравнений xy - x/y = 6 и 3xy + 2x/y = 4, мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Используя метод исключения, проделаем следующие шаги:

Первое уравнение: xy - x/y = 6.
Умножим оба выражения на y, чтобы избавиться от знаменателя:
xy^2 - x = 6y.

Второе уравнение: 3xy + 2x/y = 4.

Умножим оба выражения на y, чтобы избавиться от знаменателя:
3xy^2 + 2x = 4y.

Теперь у нас есть два уравнения:
xy^2 - x = 6y,
3xy^2 + 2x = 4y.

Используя метод исключения, вычтем первое уравнение из второго и получим:
2xy^2 + 3x = -2y.

Далее, разделим оба выражения на x:
2y^2 + 3 = -2y/x.

Используя первое уравнение, выразим x:
x = 6y / (y^2 - 1).

Подставим это значение x во второе уравнение:
3(6y / (y^2 - 1))y^2 + 2(6y / (y^2 - 1)) = 4y.

Раскроем скобки и упростим:
18y^3 / (y^2 - 1) + 12y / (y^2 - 1) = 4y.

Домножим обе стороны на y^2 - 1, чтобы избавиться от знаменателя:
18y^3 + 12y = 4y(y^2 - 1).

Переносим все слагаемые влево и получаем уравнение:
18y^3 + 12y - 4y(y^2 - 1) = 0.

Раскроем скобки:
18y^3 + 12y - 4y^3 + 4y = 0.

Собираем подобные слагаемые:
14y^3 + 16y = 0.

Факторизуем:
2y(7y^2 + 8) = 0.

Теперь у нас есть два возможных значения y:
1) y = 0.
Подставим это значение y в первое уравнение и найдем соответствующее значение x:
x = 6(0) / (0^2 - 1) = 0.

2) 7y^2 + 8 = 0.
Решим это квадратное уравнение:
7y^2 = -8,
y^2 = -8 / 7,
y = sqrt(-8 / 7) или y = -sqrt(-8 / 7).

Таким образом, система уравнений имеет три возможных решения:
1) (x, y) = (0, 0),
2) (x, y) = (6(sqrt(-8 / 7) / (-8 / 7 - 1)), sqrt(-8 / 7)),
3) (x, y) = (6(-sqrt(-8 / 7) / (-8 / 7 - 1)), -sqrt(-8 / 7)).

Совет: При решении систем уравнений важно быть внимательным при домножении выражений на знаменатель, чтобы избавиться от дробей. При факторизации уравнений, обратите внимание на общие множители. Проверьте решение, подставив найденные значения в исходные уравнения.

Проверочное упражнение: Решите систему уравнений:
2x - 3y = 7,
4x + 5y = 1.