Як переписати нерівності: а) 9 до степеня -х більше за 27 б) 8 до степеня -х більше за 16 в) 3 до степеня 8-2х менше

Тема: Решение неравенств с использованием степеней

Объяснение:

а) Для решения неравенства 9^(-x) > 27 мы можем использовать свойство степеней, согласно которому a^(-b) = 1/a^b. Применим это свойство к нашему неравенству:

1/9^x > 27.

Далее, возведем обе части неравенства в степень -1, чтобы избавиться от дроби:

(1/9^x)^(-1) > 27^(-1).

Теперь мы имеем:

9^x > 1/27.

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти значение х, для которого это неравенство выполняется. Для этого возведем обе части неравенства в степень log9, чтобы избавиться от степени 9:

x > log9(1/27).

Вычислив значение log9(1/27), мы получаем:

x > -2.

Таким образом, решение данного неравенства будет следующим: x > -2.

б) Аналогичным образом решим неравенство 8^(-x) > 16. Перепишем его с помощью свойства степеней:

1/8^x > 16.

Возведем обе части неравенства в степень -1:

(1/8^x)^(-1) > 16^(-1).

Получим:

8^x > 1/16.

Используя свойство степеней, приведем это неравенство к виду:

x > log8(1/16).

Вычислив значение log8(1/16), получим:

x > -1.

Таким образом, решение данного неравенства будет: x > -1.

в) Для решения неравенства 3^(8-2x) < 1 сначала применим свойство степеней:

3^8 * 3^(-2x) < 1.

Умножим обе части неравенства на 3^(-8), чтобы избавиться от частей со степенью 3:

3^(-2x) < 1/3^8.

Теперь приведем неравенство к виду:

1/3^2x < 1/3^8.

Сравнивая знаменатели, получаем:

2x > 8.

Делим обе части неравенства на 2 и получаем:

x > 4.

Таким образом, решение данного неравенства будет: x > 4.

г) Решим неравенство 4^(3+5x) > 1. Применим свойство степеней:

4^3 * 4^(5x) > 1.

Умножим обе части на 4^(-3), чтобы избавиться от степени 4:

4^(5x) > 1/4^3.

Запишем это неравенство в виде:

1/4^(-5x) > 1/4^3.

Приведем неравенство к виду:

4^(-5x) < 4^3.

Сравнивая знаменатели, получаем:

-5x < 3.

Делим обе части на -5 и меняем направление неравенства:

x > -3/5.

Итак, решение данного неравенства будет: x > -3/5.

Совет:

При решении неравенств со степенями важно помнить о свойствах степеней, таких как a^(-b) = 1/a^b и (a^b)^c = a^(b*c). Такие свойства помогут упростить неравенства и свести их к более простым формам. Также стоит обратить внимание на знаки неравенства и правильно определить направление неравенства при умножении или делении на отрицательное число.

Закрепляющее упражнение:

Решите следующие неравенства:

а) 5^(-2x) > 25

б) 2^(4-x) > 8

в) 9^(2x-1) < 1/9