What is the equivalent form of the logarithmic equation log2(x^2+8x-48)-log4(x^2+24x+144)=55?

Тема урока: Работа с логарифмическими уравнениями

Пояснение: Для решения данного уравнения необходимо использовать свойства логарифмов. Начнем с упрощения уравнения.

Свойство разности логарифмов позволяет нам записать данное уравнение в виде: log2((x^2+8x-48)/(x^2+24x+144)) = 55.

Теперь нам нужно избавиться от логарифма. Для этого воспользуемся свойством эквивалентности логарифма и экспоненты, которое гласит: если loga(b) = c, то a^c = b.

Применяя это свойство к исходному уравнению, получаем следующее: (x^2+8x-48)/(x^2+24x+144) = 2^55.

Теперь у нас есть эквивалентное уравнение без логарифмов. Мы можем продолжить упрощение. Сначала умножим обе части уравнения на (x^2+24x+144), чтобы избавиться от дроби.

(x^2+8x-48) = (x^2+24x+144) * 2^55.

Затем раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

x^2 + 8x - 48 = 2^55 * x^2 + 2^55 * 24x + 2^55 * 144.

Далее перенесем все слагаемые в одну часть уравнения и получим:

2^55 * x^2 + 2^55 * 24x + 2^55 * 144 - x^2 - 8x + 48 = 0.

Теперь мы можем решить получившееся квадратное уравнение относительно неизвестной x.

Пример: Решите уравнение log2(x^2+8x-48)-log4(x^2+24x+144)=55.

Совет: Для решения логарифмических уравнений всегда старайтесь упростить уравнение, применяя свойства логарифмов. Это поможет вам получить эквивалентную форму уравнения без логарифмов и решить его обычными алгебраическими методами.

Дополнительное задание: Решите логарифмическое уравнение log3(x+2) + log3(x-1) = log3(5).