Вариант 3. 1. Разложите следующие выражения на множители: 1) Разложить 1000m³ - n³ на множители. 3) Разложить -8x²

Разложение выражений на множители:

1) Разложить 1000m³ - n³ на множители:

Мы можем использовать формулу разности кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\).
В данном случае, \(a = 10m\), \(b = n\). Подставив эти значения, получаем:
\(1000m^3 - n^3 = (10m - n)((10m)^2 + (10m)(n) + n^2)\).
Таким образом, выражение разложено на множители.

2) Разложить 81a³ - ab² на множители:

Здесь мы можем использовать формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
В данном случае, \(a = 9a\), \(b = \sqrt{b^2} = b\). Подставив эти значения, получаем:
\(81a^3 - ab^2 = (9a - b)(9a^2 + (9a)(b) + b^2)\).
Таким образом, выражение разложено на множители.

3) Разложить -8x² - 16xy – 8y² на множители:

Здесь мы можем вынести общий множитель -8:
\(-8x^2 - 16xy - 8y^2 = -8(x^2 + 2xy + y^2)\).
Теперь мы можем использовать формулу суммы квадратов: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).
В данном случае, \(a = x\), \(b = y\). Подставив эти значения, получаем:
\(-8(x^2 + 2xy + y^2) = -8(x + y)^2\).
Таким образом, выражение разложено на множители.

4) Разложить 5mn + 15m – 10n – 30 на множители:

Мы можем сгруппировать мономы в две пары:
\(5mn + 15m\) и \(-10n - 30\).
В каждой паре, можно вынести общий множитель:
\(5mn + 15m = 5m(n + 3)\) и \(-10n - 30 = -10(n + 3)\).
Таким образом, выражение разложено на множители.

5) Разложить 256 на множители:

Чтобы разложить число на множители, нужно представить его как произведение простых чисел.
256 является степенью двойки, поэтому мы можем разложить его на множители следующим образом:
\(256 = 2^8\).
Таким образом, выражение разложено на множители.

Выпишите выражение:

Выражение \(a y(y - 5)(y + 5) – (y + 2)(y² - 2y + 4)\) можно раскрыть и упростить:
\(ay^3 - 5ay^2 + 5ay - y^3 - 2y^2 + 4y + 2y^2 - 4y + 8 = ay^3 - y^3 - 5ay^2 + 2y^2 + 5ay - 4y + 8\).
Таким образом, раскрытое выражение:
\(ay^3 - y^3 - 5ay^2 + 2y^2 + 5ay - 4y + 8\).

Разложение выражений на множители (продолжение):

6) Разложить -2x³ - 28x² - 98x на множители:

Мы можем вынести общий множитель -2x:
\(-2x(-x^2 - 14x - 49)\).
Теперь мы можем использовать формулу квадратного трехчлена: \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).
В данном случае, \(a = x\), \(b = 7\). Подставив эти значения, получаем:
\(-2x(-x^2 - 14x - 49) = -2x(x + 7)^2\).
Таким образом, выражение разложено на множители.

7) Разложить a + - ay³ - y³ на множители:

Здесь мы можем вынести общий множитель \(a\) и {-1}:
\(a + - ay^3 - y^3 = a(1 - y^3) - (y^3)(1 - a)\).
Теперь мы можем использовать разность кубов:
\(1 - y^3 = (1 - y)(1 + y)\).
Подставив это значение, получаем:
\(a(1 - y^3) - (y^3)(1 - a) = a(1 - y)(1 + y) - (y^3)(1 - a)\).
Таким образом, выражение разложено на множители.

8) Разложить 25x² - 10xy + y² - 9 на множители:

Мы можем объединить мономы в две группы:
\(25x^2 - 10xy\) и \(y^2 - 9\).
В каждой группе можно вынести общий множитель:
\(25x^2 - 10xy = 5x(5x - 2y)\) и \(y^2 - 9 = (y + 3)(y - 3)\).
Таким образом, выражение разложено на множители.

Решение уравнений:

9) Решить уравнение 2x³ - 32x = 0:

Мы можем вынести общий множитель 2x:
\(2x(x^2 - 16) = 0\).
Теперь мы можем использовать формулу разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).
В данном случае, \(a = x\), \(b = 4\). Подставив эти значения, получаем:
\(2x(x - 4)(x + 4) = 0\).
Таким образом, уравнение имеет три решения: \(x = 0\), \(x = 4\), \(x = -4\).

10) Решить уравнение a + bx = 0:
Чтобы найти решение уравнения \(a + bx = 0\), нужно выразить переменную \(x\):
\[x = -\frac{a}{b}\].
Таким образом, решение уравнения \(a + bx = 0\) равно \(x = -\frac{a}{b}\).